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Universität/Hochschule J * Geometrischer Beweis der geometrischen Reihe
Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2011-03-21


Man gebe einen "geometrischen" Beweis für die geometrische Reihe

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zumindest wenn q eine Primzahlpotenz ist.
 
PS: Dies ist von endys Aufgabe inspiriert.



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Bitte poste Lösungen zu dieser Aufgabe nur dann im Forum, wenn der Themensteller das verbal in seinem Aufgabentext erwähnt hat. Sonst antworte ihm in einer privaten Nachricht. (Hinweis: Diese Knobelaufgabe wurde gestellt, bevor es die explizite Einstellung 'Antworten nur mit privater Nachricht' gab.)
Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-24


Die bisherigen Löser der Aufgabe sind:

Hannes80, endy



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-04-14


chryso hat ich einen anderen elementargeometrischen Beweis gefunden; sehr anschaulich! Dabei ist q sogar beliebig.

[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 14.04.2011 14:19:49 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-01-06


Auflösung: Der projektive Raum <math>\mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{F_q}} = (\mathbb{A}^n_{\mathbb{F_q}} \setminus \{0\}) / \mathbb{F}_q^*</math> zerlegt sich als <math>\mathbb{P}^{n-2}_{\mathbb{F}_q} \sqcup \mathbb{A}^{n-1}_{\mathbb{F}_q}</math>, induktiv also als <math>\mathbb{A}^{0}_{\mathbb{F}_q} \sqcup \mathbb{A}^{1}_{\mathbb{F}_q} \sqcup ... \sqcup \mathbb{A}^{n-1}_{\mathbb{F}_q}</math>. Zählt man nun die Elemente, erhält man <math>\frac{q^n-1}{q-1} = 1 + q + ... + q^{n-1}</math>.

Man kann das noch weitertreiben: Man kann mit gewissen Räumen so rechnen, als seien es Zahlen (Euler-Charakteristik), aber auch umgekehrt (Kategorifizierung). Sehr zu empfehlen dazu ist John Baez' math.ucr.edu/home/baez/week184.html (bzw. die gesamte This Week's Finds Reihe).



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2012-01-06


Martin bat mich, dass ich meinen elementargeometrischen Beweis veröffentliche.

Bild

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Bild
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\*) Man "sieht" die Konvergenz und erhält sofort als "Nebenprodukt" die Formel für die unendliche Reihe.

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LG chryso



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-01-06


Sehr schöner Beweis chryso! Und das mit der Konvergenz hatte ich ganz vergessen. Übrigens kannst du gleich mit q0 anfangen, um nicht am Ende jeweils kürzen zu müssen.

[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 06.01.2012 14:40:00 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-01-08


Gibt es vielleicht einen Zusammenhang zwischen chrysos und meinem Beweis?



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Nachtkerze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2012-01-09


@chryso
Das ist wirklich ein schöner Beweis! smile  
Eigentlich sollten wir solche Beweise irgendwo sammeln.
Vielleicht getrennt nach Schule und Universität.

Gruß Nachtkerze



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-03-13


So geht es auch:

Bildbeschreibung

Es gibt noch etliche weitere geometrische Beweise. Man findet sie in dem Buch "Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking: v. 1" von Roger B. Nelson.



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2012-03-13


Irgendwie scheine ich auf der Leitung zu stehen.

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Warum soll das ein Beweis für die Summenformel der unendlichen geometrischen Reihe sein?

Wer sagt, dass das Quadrat zur Gänze ausgefüllt wird?
(Ich weiß, es wird, aber genau das soll ja bewiesen werden)

LG chryso



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2012-03-13


@chryso:
Das L,welches im n-ten Schritt dazuaddiert wird,hat die Fläche <math>r(1-r)^{2n-2}+r(1-r)^{2n-1}</math>

Gruß endy




[ Nachricht wurde editiert von endy am 13.03.2012 22:06:48 ]



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2012-03-13


Endy, das weiß ich schon.

Du kannst zwar sagen, die Summanden sind eine Nullfolge.
Du hast also eine streng monoton steigende, nach oben beschränkte Folge.
=> konvergent.

ABER:
 
Wer sagt dir, dass die Reihe gegen 1 konvergiert. (Ohne das vorauszusetzen, was du beweisen willst.)

LG chryso



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2012-03-14


Das L im n-ten Schritt hat die Fläche <math>F_n=r(1-r)^{2n-2}+r(1-r)^{2n-1}</math>.Sei <math>S_n=\sum_{j=1}^n F_j</math> die Summe der ersten n-Ls.Dann gilt <math>S_n+R_n=1 \, \forall n \in \mathbb{N}</math>.Hierbei ist <math>R_n=(1-r)^{2n}</math> die Fläche des Quadrats oben rechts in dem Einheitsquadrat.Es gilt <math> \lim_n  R_n=0 </math>.Also folgt <math> 1= \lim_n S_n=r \sum_{j=0}^{\infty}(1-r)^j </math>.
Gruß endy


[ Nachricht wurde editiert von endy am 14.03.2012 22:51:38 ]



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chryso
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Um zu wissen, dass Rn =(1-r)2n ist, musst du die endliche Reihe Sn bereits kennen, aber genau das möchtest du doch in diesem Beweis (zusammen mit der Formel für die unendliche Reihe) zeigen.

LG chryso



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endy
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<math>R_n=F_{n+1} + R_{n+1}</math>.Damit kann man sich die <math>R_n</math> induktiv überlegen.
Gruß endy




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chryso
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Ja, mit vollständiger Induktion kannst du zeigen, dass Rn=(1-r)2n.

Aber wenn ich dafür die vollständige Induktion brauche, warum zeige ich dann nicht gleich direkt die Summenformel mit vollständiger Induktion?


LG chryso



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Martin_Infinite hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Martin_Infinite hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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