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Schulmathematik » Folgen und Reihen, Induktion » Summenformel zu 2^n
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Schule J Summenformel zu 2^n
Ferdi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2011-03-28


Hallo zusammen,

ich suche die Summenformel zur expliziten Formel 2^n?

(Analog zu summe der i von i=1 bis n entspricht explizit 1/2*n(n+1).)

Gibt es diese überhaupt und wenn ja, wie kann man vorgehen diese zu finden?

Beste Grüße



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2011-03-28


Hallo Ferdi1 und herzlich Willkommen hier auf dem Matheplaneten!

Meinst du Summen der Form

fed-Code einblenden

?

Falls ja: berechne doch mal einige, so wirst du sofort die sehr naheliegende explizite Darstellung finden, die man auf mehreren elementaren Wegen beweisen kann.


Gruß, Diophant





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Ferdi1
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-28


Hallo Diophant,

vielen Dank für das herzliche Willkommen.

Leider ist das nicht die Summe, die ich suche. Ich suche die Summe, die der expliziten Formel 2^n entspricht.

explizit: 2^n für n>=1:  2, 4, 8, 16, ...

Summe: 2+2+4+8+... (Dies wollte ich über ein Summenzeichen darstellen.)

Viele Grüße



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2011-03-28


Hallo,

weshalb zweimal die 2 zu Beginn, ist dies ein Fehler? Sonst müsstest du wirklich mal genauer erläutern, was du suchst. Und versuche doch gleich mal, für deine Beiträge unseren hauseigenen Formeleditor zu verwenden.


Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 28.03.2011 10:43:30 ]



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Mandelbluete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2011-03-28


Wenn Du so etwas haben möchtest:

fed-Code einblenden

dann kannst Du ja mal versuchen, Dir etwas mit Hilfe der sogenannten "geometrischen Reihe" zusammenzubasteln.

Naomi

[ Nachricht wurde editiert von Mandelbluete am 28.03.2011 10:39:40 ]



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Ferdi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-28


Hallo,

kein Schreibfehler, vielleicht ein Denkfehler meinerseits.

Um 2^n für n>=1, also 2,4,8,16....summenmäßig dazustellen, muss doch der erste Summand 2 heißen, der zweite auch 2 um 4 (für n=2)zu erhalten, der dritte 4 um 8 zu erhalten usw. Also 2+2+4+....

Grundsätzlich wollte ich eine Summenformel finden:

z. B.

fed-Code einblenden

Viele Grüße


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2011-03-28


Hallo,

2011-03-28 10:48 - Ferdi1 in Beitrag No. 5 schreibt:
Um 2^n für n>=1, also 2,4,8,16....summenmäßig dazustellen, muss doch der erste Summand 2 heißen, der zweite auch 2 um 4 (für n=2)zu erhalten, der dritte 4 um 8 zu erhalten usw. Also 2+2+4+....

nein, das ist falsch. Wenn du mit n=1 beginnst sieht deine Summe so aus:

fed-Code einblenden

Eine fertige Lösung wollen wir hier nicht geben. Daher: berechne bitte für einige n den Wert der Summe, du wirst dann selbst auf die Formel kommen. Das Stichwort geometrische Reihe ist bereits gefallen. Wenn du diesem Hinweis folgen möchtest, wäre es jedoch günstiger, die Summe mit

fed-Code einblenden

beginnen zu lassen.

EDIT:
Kann es sein, dass du eine Summe suchst, deren Summenwert gleich 2n ist, also etwas in der Art:

fed-Code einblenden

Falls ich jetzt dein Anliegen richtig verstanden habe, so kann ich dir nur raten, die Hinweise in den Beiträgen #1 u. #4 zu berücksichtigen.


Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 28.03.2011 11:07:15 ]



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2011-03-28


Hi Ferdi1

Willkommen auf dem Planeten

Wie wär's damit:
fed-Code einblenden

Gruß vom ¼



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Ferdi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-28


EDIT:
Kann es sein, dass du eine Summe suchst, deren Summenwert gleich 2n ist, also etwas in der Art:

 \
\sum(f(k),k=a,n)=2^n
 
Ja genau, das suche ich.

und der Tipp mit der geometrischen Reihe ist sinnvoll. Allein es fehlt mir der Ansatz.

2^1, 2^2, 2^3, 2^4
2, 4, 8, 16  (Explizit)

bedeutet doch:

2, 2+2, 2+2+4, 2+2+4+8

Also brauche ich doch für den letzten Term eine Summendarstellung.
Sehe ich das bis dahin richtig?

Viele Grüße



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Ferdi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-28


Hi Viertel,

Wow, das sieht sauber aus. Zwei Fragen dazu
1. Ist
fed-Code einblenden

und

2. wie kommt man überhaupt darauf?

VG Ferdi1



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2011-03-28


Hallo Ferdi,

man kann da drauf kommen, indem man sich bspw. mit gegebenen Hinweisen auch auseinandersetzt (nur so eine Idee von mir).

Den Wert der Binomialreihe beweist man leicht mit Hilfe der vollständigen Induktion.

Aber um hier jetzt sinnvoll weiterzukommen, gibst du bitte erst einmal an, wie du auf dieses Problem gekommen bist (ist es Teil einer Aufgabe?). Weiter könntest du uns noch deinen ungefähren Kenntnisstand durchgeben, etwa durch Angabe deiner Klassenstufe oder der Art deiner Ausbildung. Das kannst du hier im Thread machen, gerne aber auch in deinem Profil.

Und noch ein Tipp für die Zukunft: deine Problembeschreibung im Themenstart war missverständlich. Versuche, so etwas so zu formulieren, dass es keinen Interpretationsspielraum gibt.


Gruß, Diophant



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Ferdi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-28


Hallo Diophant,

ich beschäftige mich schon mit den Hinweisen. Das dauert bei mir nur etwas länger, da mein Abi knapp 20 Jahre her ist.

Die Frage resultiert aus einer Aufgabenstellung bei der die 2^n gegeben ist und die Summenformel gesucht wird, so dass mit vollständiger Induktion gezeigt werden kann, dass 2^n bzw. die  dazugehörige Summenformel für alle n gilt.

Die von Viertel "Verratene" Summenformel paßt; das konnte ich schon mit vollst. Induktion nachvollziehen.

Wie er allerdings darauf kommt, ist mir gänzlich unklar. Selbst wenn ich mir geometrische Reihen ansehe, blicke ich nicht durch.

Viele Grüße




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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2011-03-28


Hallo Ferdi!

2011-03-28 15:34 - Ferdi1 in Beitrag No. 11 schreibt:
Die Frage resultiert aus einer Aufgabenstellung bei der die 2^n gegeben ist und die Summenformel gesucht wird [...]

fed-Code einblenden

Wenn Du also Genaueres dazu wissen willst, so solltest Du Diophants Anregung ernster nehmen als dies aus Deiner Antwort hervorgeht (die ja schließlich auch nicht mehr enthält als Du schon vorher gesagt hattest). Andernfalls wird Dir wohl nur schwer zu helfen sein, wir sind schließlich keine Hellseher wink :

Beschreibe also die Dir vorliegende Aufgabe möglichst vollständig und im Originalwortlaut! Auch, was Dir unwichtig erscheinen mag, kann durchaus nötig sein für weiterführende Antworten.

Liebe Grüße, Franz

[ Nachricht wurde editiert von fru am 28.03.2011 22:14:41 ]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2011-03-28


Halo Ferdi,

2011-03-28 15:34 - Ferdi1 in Beitrag No. 11 schreibt:
ich beschäftige mich schon mit den Hinweisen. Das dauert bei mir nur etwas länger, da mein Abi knapp 20 Jahre her ist.

Ok. Aber du wirst mir Recht geben, dass man dies erst in dem Moment nachvollziehen kann, wenn du deine Überlegungen hier auch angibst. Vielleicht bin ich hier etwas strenger, als es in anderen Unterforen des Matheplaneten üblich ist, aber es ist halt das Schulmathematik-Forum.

2011-03-28 15:34 - Ferdi1 in Beitrag No. 11 schreibt:
Die von Viertel "Verratene" Summenformel paßt; das konnte ich schon mit vollst. Induktion nachvollziehen.

Wie er allerdings darauf kommt, ist mir gänzlich unklar. Selbst wenn ich mir geometrische Reihen ansehe, blicke ich nicht durch.

Genau darauf wollte ich dich eigentlich hinlotsen, nachdem ich deine Frage richtig verstanden hatte (wobei ich natürlich die Aussage von Franz nochmals betonen möchte, dass es  sich um eine von beliebig vielen Möglichkeiten handelt, aber eben um eine besonders wichtige).

Kennst du dich noch ein wenig mit Mengenlehre aus? Vielleicht weißt du noch, dass zu einer Menge der Mächtigkeit n die Mächtigkeit der betreffenden Potenzmenge gleich 2n ist. Wenn man sich nun überlegt, wie viele Elemente der Potenzmenge aus einem, aus zwei, aus drei (usw.) ... Elementen der Grundmenge bestehen, so kommt man eigentlich gedanklich recht schnell von der geometrischen Reihe

fed-Code einblenden

zu der Identität

fed-Code einblenden

Leider wurde das vorher verraten.


Gruß, Diophant

[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 28.03.2011 22:34:59 ]



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2011-03-28


hallo
Nochmal. wie kommt man auf die formel?
ich nehm an ihr hattet (a+b)^n als Summe?
also kannst du auch (1+1)^n ausrechnen!
bis dann lula



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2011-03-28


2011-03-28 15:34 - Ferdi1 in Beitrag No. 11 schreibt:
Die von Viertel "Verratene" Summenformel paßt; das konnte ich schon mit vollst. Induktion nachvollziehen.
Normalerweise geben wir hier auch nicht direkt die Lösung an.
Aber ich hatte das Gefühl*), daß es ein sehr beschwerlicher Weg werden würde, dich mit der Nase drauf zu schieben und habe deshalb mal gegen unsere Regeln gehandelt.

Ferdi1 schreibt:
Wie er allerdings darauf kommt, ist mir gänzlich unklar. Selbst wenn ich mir geometrische Reihen ansehe, blicke ich nicht durch.
Nun, mein Abi ist zwar noch etwas länger her. Aber ich habe mir die Mathematik lebendig gehalten (habe beruflich wenig bis nichts damit zu tun). Und nach vielen Jahren hier auf dem Matheplaneten sammelt man halt auch viele Erfahrungen…




*)   Das rührte von der umständlichen Art her, wie du die Frage formuliert hast.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2011-03-28


2011-03-28 15:34 - Ferdi1 in Beitrag No. 11 schreibt:
Wie er allerdings darauf kommt, ist mir gänzlich unklar ...
Hi Ferdi1,
diese Gleichung geht aus einem reichen Erfahrungsvorrat hervor, viertel hat nur mal in diesen Vorrat hineingegriffen und etwas herausgesucht.

Wie in Beitrag #12 erwähnt, ist das nur eine von vielen Möglichkeiten.
Es gibt deren so viele, weil nicht genau gesagt wurde, was man tun soll.

Die im Umfeld der Schule (aber nicht nur dort) oft gestellte Frage "wie kommt man darauf?" ist meistens unangebracht, denn
- bei Problemen der einen Art, wo es im wesentlichen nur eine richtige Antwort gibt, heißt das immer noch nicht, daß der Weg zu dieser Antwort immer derselbe sein muß, ein unkonventioneller, auf Erfahrung oder einer plötzlichen Eingebung beruhender Lösungsweg ist auch zugelassen, wenn er richtig ist, und
- bei Problemen, die mehrere Lösungen zulassen wie dieses hier, gibt es mindestens auch soviele verschiedene Möglichkeiten, darauf zu kommen.

Für mich klingt die Frage "wie kommt man darauf?" immer so, als ob es heißt "warum kann man das nur so und nicht anders machen?".

So darf es nicht gemeint sein, denn man kann es immer auf viele Arten machen, auch wenn bei Problemen der ersten Art (siehe oben) immer dasselbe herauskommt. Also heißt "wie kommt man darauf?" im Grunde genommen nur "gibt es ein paar Ideen, die nahelegen (aber nicht erzwingen), das gerade so zu tun?". Meistens gibt es sie, und manchmal ist auch der Urheber der Ideen bereit, sie auf Anfrage herauszugeben, manchmal auch nicht.

Aus diesen Gründen muß man auch nicht unbedingt begründen, warum man diesen oder jenen Lösungsweg einschlägt. Wenn man den Erfolg der Lösungsmethode durch einen überzeugenden Beweis begründet, ist das immer richtig. Man muß keine "Hinführung" zu der Art und Weise liefern, wie man die Sache beweist.

Auch wenn so etwas unter Didaktikern aus verständlichen Gründen umstritten ist, sie sagen, man darf keinen Beweis hinschreiben, der "vom Himmel fällt".

Die meisten Mathematiker sagen aber, woher der Beweis kommt, ist egal (vom Himmel kommt er niemals, aber vielleicht aus dem genialen Gehirn eines Forschers, und das mögen Didaktiker nicht), Hauptsache, er ist richtig, das bedeutet, er hält einer Überprüfung stand.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 28.03.2011 19:26:20 ]



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gipsy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2011-03-28


Hallo Ferdi1,

vielleicht interessiert Dich, auf wieviele Arten man Zweierpotenzen als Summe darstellen kann: siehe hier.
Wie schon gesagt, ergeben manche davon einen hübschen Stunt wie die geometrische Reihe, die Summe der Binomialkoeffizienten  oder die Potenzmenge oder ...

Gruß gipsy



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Ferdi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2011-03-28


Guten Abend zusammen,

vielen Dank für die vielen Kommentare und Anregungen.

Eine Frage habe ich noch an Diophant bzgl. #13. Ich hab noch etwas Schwierigkeiten mit den Summenzeichen und hätte geschrieben:

fed-Code einblenden

Liege ich damit falsch?

VG Ferdi1






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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2011-03-28


Hallo Ferdi,

nein, du liegst richtig. Ich hatte mich vertippt und werde es noch ausbessern.

Konntest du denn meine Idee bezüglich des Zusammenhangs der geometrischen Reihe mit q=2 und der Binomialreihe nachvollziehen?


Gruß, Diophant



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Ferdi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2011-04-04


Hallo Diophant,

den Gedankengang von der Potenzmenge 2^n zum Binomialkoeffizenten konnte ich nach einiger Überlegung gut nachvollziehen.

Also  
fed-Code einblenden
ist klar.

Nun hast Du noch erwähnt, dass
fed-Code einblenden
Und da hab ich noch einen Hänger. Ich versuche nun seit geraumer Zeit den binomischen Satz so umzuformen, das ich drauf komme aber leider ohne Erfolg.
Ist das überhaupt der richtige Ansatz?
Oder resultiert  

fed-Code einblenden

aus einer Umformung der geometrischen Reihe

fed-Code einblenden

Viele Grüße

Ferdi1

EDIT [Diophant]: Darstellung der fed-Blöcke verbessert.
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 04.04.2011 10:25:11 ]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2011-04-04


fed-Code einblenden
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 04.04.2011 14:39:14 ]



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Ferdi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2011-04-04


OK! Also zwei Gedankengänge, um mein Ursprungsproblem zu betrachten.

Ich hatte vermutet, dass man mit Termumformungen von

fed-Code einblenden

kommt.

Also nochmal herzlichen Dank!



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