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Kein bestimmter Bereich Bilinear- oder Sesquilinearform
EventHorizon
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  Themenstart: 2004-01-20

Hallo Leute, ich brauche mal wieder etwas Unterstützung :-} ich habe gegeben: V sei K-Vektorraum mit K=IR oder IC, v_1 , ..,v_n eine Basis von V und b sei eine Bilinear oder Sequilinearform auf V. Ist b positiv definit, so gilt ja b(v_i ,v_i )>0 \forall i=1,..n. Man soll nun durch ein Beispiel zeigen, dass die Umkehrung dieser Aussage falsch ist. Wie fängt man das am besten an? Grüße Event


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2004-01-20

Hi EventHorizon, die Matrix einer solchen Form ist symmetrisch bzw. hermitesch. Die einzige Forderung ist, dass die Diagonalelemente positiv sein sollen. Wenn du die Außerdiagonalelemente genügend groß machst, wird die entstehende Bilinear- / Sesquilinearform nicht positiv definit sein. Ein 2 x 2-Beispiel wäre matrix(1,2;2,1). Gruß Buri


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EventHorizon
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-22

Sorry Buri, aber ich hab das wohl nicht so richtig verstanden. Könntest du mir das vielleicht an hand deines Beispiels der 2x2 Matrix noch einmal ausführlicher erklären? Gruß Event


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EventHorizon
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-22

hochschiebe


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Radix
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  Beitrag No.4, eingetragen 2004-01-23

Hallo EventHorizon! Mit v_1=(1;0), v_2=(0;1) und a=(1;-1) kannst du in Buris Beispiel leicht nachrechnen: b(v_1,v_1)>0 b(v_2,v_2)>0 aber b(a,a)<0 Daher ist b nicht positiv definit. Gruß, Radix


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EventHorizon
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-23

Sorry, aber ich steh hier echt auf dem Schlauch warum ist denn b(a,a) = b((1;-1),(1;-1))=<(1;-1),(1;-1)> <0? kann mir das einer erklären? Gruß Event [ Nachricht wurde editiert von EventHorizon am 2004-01-23 09:33 ]


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Buri
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  Beitrag No.6, eingetragen 2004-01-23

Hi Event, wenn ich von einer Bilinearform mit der Matrix matrix(1,2;2,1) bezüglich der Basis v_1\., v_2 spreche, heißt das, die Bilinearform ist durch b(x_1\.v_1+y_2\.v_2,y_1\.v_1+y_2\.v_2)=matrix(x_1,x_2)*matrix(1,2;2,1)*matrix(y_1;y_2) =x_1*y_1+2*x_1*y_2+2*x_2*y_1+x_2*y_2 gegeben. In dem Beispiel von Radix erhältst du b(a,a)=1*1 + 2*1*(-1) + 2*(-1)*1 + (-1)*(-1) = -2. Gruß Buri


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