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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten
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Universität/Hochschule Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten
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  Themenstart: 2012-04-14

Hallo, Ich kann für eine gleichmäßig konvergente Fourierreihe f zeigen dass : c_n:=int(f(x)e^(-inx),x,0,2pi) gilt für alle n aus Z. Wie kann ich aber zeigen dass c_n:=int(f(x)e^(-inx),x,0,2pi) für alle Riemann Integrierbaren Funktionen f gilt ? Ist das erheblich mehr Aufwand ? Danke [ Nachricht wurde editiert von Der_John23 am 14.04.2012 16:06:54 ]


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-04-14

Hallo, was soll das denn heißen? Bis jetzt berechnest du Zahlen c_n. Interessant ist doch, was du damit machen willst. Wally


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-04-14

Ich will zeigen das die Fourierkoeffizienten durch das oben angegebene Integral bestimmt sind. Vielleicht hätte ich noch dazuschreiben sollen, dass   f(x)=sum(c_k e^ikx,k=-\inf ,\inf ) ist und diese Reihe gleichmäßig konvergiert. Und nun will ich es halt für alle Riemann-Integrierbaren Funktionen zeigen. [ Nachricht wurde editiert von Der_John23 am 14.04.2012 16:14:39 ]


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-04-14

Mein Problem ist halt wenn ich eine 2pi periodische Funktion habe die Riemann Integrierbar ist, kann es halt sein dass die zugehörige Fourierreihe gar nicht konvergiert. Und ich kann diese Reihe dann nicht integrieren um meine Koeffizienten zu bestimmen.


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2012-04-14

Hallo, John, es kommt ja auch darauf an, was das Gleichheitszeichen nach f(x) bedeuten soll. Wenn f nicht stetig ist, wird das im Allgemeinen schon falsch sein. Im L_2-Sinn gilt das immer, wenn f quadratintegrierbar ist. Ich fürchte, Riemann-Integrierbarkeit reicht alleine nicht aus. Wally


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Buri
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  Beitrag No.5, eingetragen 2012-04-14

\quoteon(2012-04-14 18:08 - Wally in Beitrag No. 4) Ich fürchte, Riemann-Integrierbarkeit reicht alleine nicht aus. \quoteoff Hi Wally, wahrscheinlich doch. Riemann-Integrierbarkeit impliziert Beschränktheit, und wenn f Riemann-integrierbar ist, dann ist zum Beispiel auch f2 Riemann-integrierbar, während man dies für das Lebesgue-Integral sicherlich nicht behaupten kann. @Der_John23 Wegen der Riemann-Integrierbarkeit gibt es keine Probleme, die Koeffizienten auszurechnen. Die Fourierreihe, die man so erhält, konvergiert im quadratischen Mittel, siehe Beitrag #4. Dass die Reihe auch punktweise konvergiert, kann man nicht behaupten, weil die Abänderung des Funktionswertes f(x) an einer beliebigen Stelle x an der Riemann-Integrierbarkeit nichts ändert und auch die Koeffizienten nicht beeinflußt. Vielleicht konvergiert solch eine Fourierreihe an jeder Stetigkeitsstelle von f, das wäre das Stärkste, was man behaupten könnte, aber auch das ist möglicherweise falsch. Für L2-Funktionen gibt es die Lusin-Vermutung, die von Carleson im positiven Sinne entschieden wurde. Indessen wußte man schon lange vorher, dass dieselbe Vermutung für in p-ter Potenz integrierbare Funktionen mit p < 2 falsch ist. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von Buri am 14.04.2012 19:03:18 ]


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-04-14

Hallo Buri, Ich weiß das es möglich ist die Koeffizienten auszurechnen wenn die Funktion Riemann-Integrierbar ist. Mein Problem ist nur wie geht das: wie kann ich direkt int(f(x)e^(-ikx),x,0,2\pi)=....=c_n berechnen ? Das ist mein Problem. Bei meiner obigen Annahme ist es einfach, denn ich setze einfach nur meine gleichmäßig konvergente Reihe ein und rechne aus. Aber wie geht es dann hier ?? So wie ich es sehe und du schreibst kann man das nicht so einfach machen [ Nachricht wurde editiert von Der_John23 am 14.04.2012 21:52:20 ]


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LutzL
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  Beitrag No.7, eingetragen 2012-04-15

Hi, Du berechnest ein Skalarprodukt. Das Skalarprodukt ist im zugehörigen normierten Raum stetig und vertauscht daher mit Grenzwerten, also auch mit der Reihe. Übrigens fehlt Dir ein Faktor 1/(2pi). Ciao Lutz


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-04-15

Hi, Sorry ich verstehe das nicht ganz. was setze ich dann in mein Integral für f(x) ein, um auf mein c_n zu kommen ? Ich muss ja irgendwie direkt auf mein c_n kommen.


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LutzL
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  Beitrag No.9, eingetragen 2012-04-15

\ c_n= mit =1/2\p*int(f(x)*(g(x))^-,x,0,2\p) eine Version des L^2-Skalarprodukts und e_n(x)=exp(i*nx). Die e_n bilden dann eine Orthonormalbasis und die c_n sind die Fourierkoeffizienten bzgl. dieser Bases Ciao Lutz [ Nachricht wurde editiert von fed am 15.04.2012 19:44:47 ]


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