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Funktionentheorie » Holomorphie » f nicht komplex differenzierbar beweisen
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Universität/Hochschule f nicht komplex differenzierbar beweisen
sese
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  Themenstart: 2012-04-24

Hallo, ich soll zeigen, dass die Funktion f:\IC->\IC f(z) := z^- in keinem Punkt komplex differenzierbar ist. ist es da hinreichend zu zeigen, dass die cauchy riemannschen differentialgleichungen nicht erfüllt sind? also wenn z = x + iy ist, dann ist ja f(z) = x - iy und mit u(x,y) = x und v(x,y) = -y hätte ich ja dann du/dx = 1 != dv/dy = -1 und du/dy = dv/dx = 0 somit sind die cauchy riemannschen dgln nicht erfüllt. reicht das aus? Danke schon mal. sese


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Algebrax
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-04-24

Hallo, sese! Ja, das genügt; komplexe Differenzierbarkeit ist ja genau dann gegeben, wenn die gegebene Funktion, aufgefasst als Funktion vom \IR^2 in den \IR^2 , an der Stelle total differenzierbar ist, und wenn die CR-Differentialgleichungen in dem Punkt erfüllt sind. Ist auch nur eine der beiden Bedingungen verletzt, ist also keine komplexe Differenzierbarkeit gegeben. Mit lieben Grüßen, Alex


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sese
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-04-24

Vielen Dank für die schnelle Antwort. und wenn ich zeigen soll, dass eine Funktion komplex diffbar ist(bzw in welchen punkten sie komplex difbar ist)? Sind die CR-DGLn dann nur notwendig oder auch hinreichend? z.B. bei f(z) = z^-^2 da wäre dann u_x = 2x und v_y = -2x und u_y = -2y und v_y = -2y das würde ja dann bedeuten dass f nur bei 0 komplex differenzierbar ist? Danke schonmal.


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Algebrax
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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-04-24

Nein, sie sind nur notwendig; ein notwendiges und hinreichendes Kriterium hab ich schon in der ersten Antwort geschrieben :). Du musst dir also noch überlegen, dass die Funktion an der Stelle auch (reell) total differenzierbar ist (was ja z.B. stets dann gegeben ist, wenn die partiellen Ableitungen an der betrachteten Stelle existieren und stetig sind). Ein Beispiel für eine Funktion, die im Nullpunkt zwar die CR-Differentialgleichungen erfüllt, aber nicht komplex differenzierbar ist, ist etwa f:\IC -> \IC, f(x+iy) = \sqrt(abs(xy)) . Mit lieben Grüßen, Alex


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helmutg
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  Beitrag No.4, eingetragen 2014-11-28

Guten Tag! Beim Googeln bin ich darauf gestoßen und wollt hierzu was Fragen. f(z)=z z^- Ist diese Funktion in ganz \IC differenzierbar? So wie ich das laut diesem Thread verstehe -> NEIN Weil mit z=x+iy und z^- =x-iy f(z)=x^2+y^2 Realteil: u(x,y) Imaginärteil: v(x,y) pdiff(u(x,y),x)=2x != pdiff(v(x,y),y)=0 pdiff(u(x,y),y)=2y != -pdiff(v(x,y),x)=0 Kann das jemand bestätigen? THX! Helmut


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Algebrax
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  Beitrag No.5, eingetragen 2014-11-28

Hallo, helmutg! Herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Ja, das stimmt (wobei es natürlich genau einen Punkt $x+iy$ gibt, wo die CR-DGLen für diese Funktion doch erfüllt sind). Mit lieben Grüßen, Alex


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