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Schule Skalarprodukt
untermutant
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  Themenstart: 2002-09-04

für a=(a1,a2) und b=(b1,b2) sind skalarprodukte gegeben durch a*b:= a1b1-a1b2-a2b1+2a2b2 a*b:=a1b1-2a1b2-2a2b1+5a2b2 für welches kleinste natürliche n ist a*b:=a1b1-3a1b2-3a2b1+na2b2 ein skalarprodukt? Nachweis der eigenschaft "positiv definit"! also ich erkenne nur dass n offensichtlich 10 sein muss(geht für mich aus der logischen folge hervor. positiv definit heisst doch : a*a>0 also müsste a1^2-6a1a2+10a2b2>0 sein. weiter komme ich aber irgendwie nicht. hoffentlich kann mir jemand weiterhelfen mfg johannes


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Siah
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-09-04

Hallo Johannes! Also: Für welche kleinste natürliche Zahl n ist a*b= a1b1-3a1b2-3a2b1+na2b2 ein Skalarprodukt? Die Frage ist identisch mit dieser Frage: Für welche kleinste natürliche Zahl n genügt die Gleichung a*b=... den vier Skalarproduktaxiomen, da da wären: (S1) Kommutativgesetz: a*b=b*a (S2) 1.Distributivgesetz: (a+b)*c = a*c+b*c (S3) 2.Distributivgesetz: r(a*b)=(r*a)*b=a*(r*b) (S4) Positive Definitheit: a*a>0   und a*a=0 für a ist der Nullvektor. So, jetzt muss man Schritt für Schritt überprüfen, für welches kleinstes n alle diese Axiome erfüllt sind. Fangen wir mal an: (S1) a*b= b*a <=> a1b1-3a1b2-3a2b1+na2b2 = b1a1-3b1a2-3b2a1+nb2a2 <=> a1b1-3a1b2-3a2b1+na2b2 = a1b1-3a2b1-3a1b2+na2b2   wahre Aussage für alle n. Das heisst diese Bedingung ist für jedes n erfüllt. Die zwei nächsten Axiome werden auch für alle n erfüllt sein, prüfe es aber trotzdem selbst nach. Jetzt kommen wir zum letzten Axiom: (S4) a*a>0  <=> a1²-3a1a2-3a2a1+na2²>0 <=>a1²-6a1a2+na2²>0 So, um diese letzte Ungleichung nach n aufzulösen bedarf es eines kleinen Tricks, der sog. Quadratischen Ergänzung: a1²-6a1a2+(3a2)²-(3a2)²+na2²>0 <=> (a1-3a2)²-9a2²+na2²>0  So, der binomische Ausdruck vorne ist grösser Null, also kann  man ihn weglassen: -9a2²+na2²>0 <=> na2²>9a2² <=> n>9 Also haben wir n=10. Ich hoffe ich habe mich nicht vertan. Gruss Siah


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untermutant
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-09-04

ja das macht so sinn. vielen dank für die schnelle hilfe mfg untermutant


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