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Funktionentheorie » Holomorphie » Surjektive holomorphe Funktion mit nicht verschwindender Ableitung
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Universität/Hochschule Surjektive holomorphe Funktion mit nicht verschwindender Ableitung
Donnerwetter
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  Themenstart: 2012-07-27

Hallo liebes Forum, ich habe folgende Frage:   Sei f eine surjektive, holomorphe Funktion von ganz C nach ganz C. Außerdem habe die Ableitung f' von f keine Nullstellen. Ist f damit schon injektiv und gehört dann zu Aut(C) (ist also affin linear)? Vielen Dank Philip


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-27

\quoteon(2012-07-27 14:56 - Donnerwetter im Themenstart) Ist f damit schon injektiv und gehört dann zu Aut(C) (ist also affin linear)? \quoteoff Hi Philip Donnerwetter, nein. Die allgemeine Form einer ganzen Funktion ohne Nullstellen lautet exp(h(z)), wobei h eine ganze Funktion ist. Diese Behauptung ist nicht völlig trivial, aber richtig. Somit ist int(exp(h(z)),z) die allgemeine Gestalt einer ganzen Funktion, deren Ableitung nirgends 0 ist, und die Menge dieser Funktionen ist umfangreich genug, damit sie sowohl surjektive Funktionen enthält, als auch solche, die nicht affin\-linear sind, und auch Funktionen, die beides erfüllen. Gruß Buri


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Donnerwetter
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-27

Hallo Buri, vielen Dank für die Antwort. Das alle ganzen Funktionen mit nicht verschwindender Ableitung sich so darstellen lassen hatte ich auch schon rausgefunden. Hast du vielleicht ein Beispiel für eine Wahl von h, sodass f surjektiv aber nicht affin-linear ist? (Dieses f kann dann nicht mehr injektiv sein.) Grüße [ Nachricht wurde editiert von Donnerwetter am 27.07.2012 17:15:22 ]


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-07-27

\quoteon(2012-07-27 17:13 - Donnerwetter in Beitrag No. 2) Hast du vielleicht ein Beispiel für eine Wahl von h, sodass f surjektiv ... ist? \quoteoff Hi Donnerwetter, wie gesagt, ziemlich alle ganzen Funktionen h tun das. Übrigens ist f genau dann affin-linear, wenn h konstant ist. Man muß also h so wählen, dass es - nicht konstant ist, und - f surjektiv ist. Wäre f nicht surjektiv, dann könnte sie höchstens einen Wert b auslassen und müßte die Form b + ep(z) haben. Man kann ausschließen, dass dieser Fall eintritt, mit anderen Worten, man muß zeigen, dass die unglaubliche Vielfalt, die in der Wahl der ganzen Funktion h liegt, ausreicht, um die Surjektivität von f zu sichern. Ein konkretes durchgerechnetes Beispiel habe ich nicht, ich bin nur überzeugt davon, dass es sehr viele Beispiele geben muß, und die Überprüfung eines konkreten Falles, zum Beispiel int(exp(z^2),z) ist nicht völlig trivial, aber scheint doch möglich. Schade, dass es mir nicht gelingt, ein Beispiel aus elementaren Funktionen zu basteln, irgendwie geht es bei mir nicht ohne das Integralzeichen. Vorschläge, die diesen Mangel beheben, sind willkommen. Gruß Buri


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Donnerwetter
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-27

Hey Buri Vielen Dank für die schönen Antworten. "Wäre f nicht surjektiv, dann könnte sie höchstens einen Wert b auslassen und müßte die Form b + ep(z) haben." Wie kann man das zeigen ?


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Buri
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  Beitrag No.5, eingetragen 2012-07-27

\quoteon(2012-07-27 18:52 - Donnerwetter in Beitrag No. 4) Wie kann man das zeigen ? \quoteoff Hi Donnerwetter, das ist der kleine Satz von Picard in Verbindung mit der Aussage, die ich im Beitrag #1 erwähnt habe. Eine ganze Funktion läßt höchstens einen Wert aus, oder allgemeiner, eine meromorphe Funktion, die von C in C ∪ {∞} abbildet, läßt höchstens zwei Werte aus. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von Buri am 28.07.2012 08:08:38 ]


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Tarrasch
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  Beitrag No.6, eingetragen 2012-07-28

Hallo Donnerwetter und Buri, folgende Ueberlegung sollte eine Fuelle an Beispielen liefern. Sei f: \IC -> \IC eine ganze Funktion. Wenn gilt f(\IR)=\IR, ist f surjektiv. Beweis: Alle reellen Werte werden schon angenommen. Sei also y \el\ \IC-\IR. Dann ist y^- \el\ \IC-\IR und y!=y^-. Nach dem kleinen Satz von Picard wird also y oder y^- von f angenommen, sagen wir y^-. f(a)=y^-. Nach dem Schwarzschen Spiegelungsprinzip gilt dann aber f(a^-)=f(a)^-=y. \bigbox Damit folgt sofort: Sei h(z)=z^2n (n \el\ \IN) Fuer die Funktion f(z)=int(exp(h(\xi)),\xi,0,z) gilt f(\IR)=\IR und somit ist f surjektiv auf \IC. mfg Tarrasch


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Buri
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  Beitrag No.7, eingetragen 2012-07-28

Hi Donnerwetter, mir ist noch ein Beispiel ohne Integral eingefallen, nämlich die Abbildung z\mapsto exp(exp(z)). Zwar ist die Ableitung ≠ 0, aber die Funktion ist leider nicht surjektiv, siehe Beitrag #8. Danke für die Korrektur. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von Buri am 29.07.2012 09:14:49 ]


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mathe_andi
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  Beitrag No.8, eingetragen 2012-07-28

Hi Buri, deine Abbildung wird doch nicht 0, die ist also nicht surjektiv.


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Donnerwetter hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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