| Autor |
  konstante Funktion |
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hubuh
Junior 
Dabei seit: 09.12.2003
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2004-02-10
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Hi,
ich komme da mit einem Beweis nicht zurecht. Und zwar sollen wir zeigen, dass eine Funktion mit:
|f(x)-f(y)|<(x-y) 2
für alle x,y konstant ist.
Ich vermute, man muss den Mittelwertsatz anwenden, was bei mir bisher aber fehlgeschlagen ist.
Ist das Ziel des Beweises zu zeigen, dass die erste Ableitung von f null ist?
Vielen Dank schon mal im Voraus für jegliche Hilfe.
Grüße, hubuh
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Rodion
Senior 
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-02-10
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Hallo!
Dein Ansatz ist genau richtig, zeige, daß die Ableitung Null ist, in dem du den Differenzenquotienten betrachtest.
Viel Erfolg!
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arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.2, eingetragen 2004-02-10
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hallo hubuh!
abs(f(x)-f(y))<=(x-y)^2
<=>abs(f(x)-f(y))<=abs(x-y)*abs(x-y)
<=>abs((f(x)-f(y))/(x-y))<=abs(x-y)
gehe nun zum grenzwert über:
lim(x->y,abs((f(x)-f(y))/(x-y)))<=lim(x->y,abs(x-y))
=> f'(x)=0
gruß arthur
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MathSG1982
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 25.06.2003
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Wohnort: Riegelsberg (D)
 | Beitrag No.3, eingetragen 2004-02-10
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hallo,
abs(f(x)-f(y))/(x-y) <= x-y
mit x->y, ist der rechte Term die Ableitung der funktion in y, der linke geht gegen null.
für x > y gilt: y-x <= abs(f(x)-f(y))/(x-y) <= x-y
für x < y gilt: y-x >= abs(f(x)-f(y))/(x-y) >= x-y
für x->y ist der mittlere Term die Ableitung an der Stelle y, die
äusseren Terme gehen gegen null. damit muß der mittlere auch gegen null
gehen. => f'(y)= 0 für alle y => f konstant
das von arthur ist übersichtlicher, weil er gleich mit beträgen rechnet. gefällt mir besser (am ende muß nur ein y statt einem x stehen).
mfg
mathsg
[ Nachricht wurde editiert von MathSG1982 am 2004-02-10 22:32 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.4, eingetragen 2004-02-10
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Schade - da wäre hubuh (toller Name  ) mit Rodions Bestätigung schon alleine auf die Lösung gekommen, und jetzt wird ihm diese nur so hingeschmettert ... echt schade
(auch wenn Arthur mit den Beträgen noch nicht nicht sorgfältig genug umgegangen ist ...)
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2004-02-10 20:15 ]
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arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
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Wohnort: Berlin
| Beitrag No.5, eingetragen 2004-02-10
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@martin:
wo genau fehlt die sorgfältigkeit? war mir selbst nicht 100%ig sicher und würde mich deshalb sehr für eine antwort interessieren....
mfg arthur
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hubuh
Junior
Dabei seit: 09.12.2003
Mitteilungen: 14
|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-10
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Vielen lieben Dank für die schnellen Antworten.
War ja wirklich nicht so schwer.
Grüße, hubuh
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| Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.7, eingetragen 2004-02-10
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@Arthur:
abs((f(x)-f(y))/(x-y))<=abs(x-y)
ist richtig. Aber du kannst nichts mit
abs((f(x)-f(y))/(x-y))
anfangen, wir brauchen aber
(f(x)-f(y))/(x-y)
Das sehen wir erst in der Ungleichung
-abs(x-y) <=(f(x)-f(y))/(x-y)<= abs(x-y)
Aus ihr folgt
lim(y->x,-abs(x-y)) <=lim(y->x,(f(x)-f(y))/(x-y)<= lim(y->x,abs(x-y))
also
0 <=lim(y->x,(f(x)-f(y))/(x-y)<= 0
womit wegen der Antisymmetrie von <= schließlich
f'(x) = lim(y->x,(f(x)-f(y))/(x-y) = 0 folgt.
Das wollte ich sagen.
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MathSG1982
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 25.06.2003
Mitteilungen: 1041
Wohnort: Riegelsberg (D)
| Beitrag No.8, eingetragen 2004-02-10
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@martin: ich würde sagen, dass man mit beträgen arbeiten kann. du hast dann den betrag der ableitung. wenn der gegen null geht, geht die ableitung auch gegen null. bei anderen grenzwerten würde ich dir recht geben.
mfg
mathsg
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arthur
Senior
Dabei seit: 04.11.2003
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Wohnort: Berlin
| Beitrag No.9, eingetragen 2004-02-10
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danke martin... 
diesmal lass ichs so stehen, ich denke das geht in diesem fall. aber in anderen fällen sollte man vorsichtiger sein, da hast du recht.
grüße arthur
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Hyp
Senior
Dabei seit: 08.03.2003
Mitteilungen: 1858
 | Beitrag No.10, eingetragen 2004-02-10
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Folgt nicht aus abs(f'(x))=0 \forall\ x \el\ D, dass f'(x)=0 ist.
abs(a)=0 <=> a=0 \forall\ a\el\ \IR .
Oder irre ich mich da ?
Gruß
Hyp
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46519
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.11, eingetragen 2004-02-10
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Hi hubuh,
die Aufgabe ist nicht richtig formuliert. Es gibt solche Funktionen gar nicht. Entweder mußt du x ≠ y hinzufügen oder statt < das Zeichen ≤ nehmen.
Wenn so, dann kann man die Behauptung so beweisen:
Sind x, y beliebige Zahlen, so kann man für jede ganze Zahl n > 1 eine arithmetische Folge mit n + 1 Gliedern aufstellen, die x als Anfangs- und y als Endglied hat, nämlich
a_i=x+i/n*(y-x), dann ist a_0=x und a_n=y.
Nach der Dreiecksungleichung gilt
abs(f(x)-f(y))<=sum(abs(f(a_(i-1))-f(a_i)),i=1,n)
<=sum((a_(i-1)-a_i)^2,i=1,n)=n*((x-y)/n)^2=(x-y)^2/n\.
Hier kann man n gegen Unendlich gehen lassen und erhält f(x)=f(y) für beliebige x, y, das ist die Behauptung.
Vielleicht ist es 'n bißchen umständlicher, aber es vermeidet die Verwendung des Mittelwertsatzes.
Gruß Buri
PS: Der tiefere Hintergrund für deine Übungsaufgabe ist der folgende Begriff: Eine Funktion f nennt man Hölder-Lipschitzstetig zum Exponenten a, wobei 0 < a ≤ 1, wenn es eine Konstante L gibt mit |f(x) - f(y)| ≤ L |x - y|a, für a = 1 sagt man auch einfach Lipschitzstetig und spricht von der Lipschitzbedingung.
Der Sinn der Aufgabe ist, zu demonstrieren, dass es keinen Sinn macht, in dieser Bedingung a > 1 zu nehmen, weil dies zur Folge hat, dass f konstant ist.
Es ist klar, dass der Aufgabensteller dies wußte, ich frag mich, warum sagt er es euch dann nicht so?
Ich (als Lehrer) hätte es so gemacht:
1. Den Begriff "Hölder-Lipschitzstetig" definieren, siehe oben, nur ohne die Forderung a ≤ 1.
2. Die Studenten beweisen lassen, dass aus a > 1 folgt, dass f konstant ist.
So wird doch eher was daraus, die Fragestellung ist doch vollkommen natürlich und ihre Tragweite kann so sofort verstanden werden.
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 23.01.2006 16:50:06 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.12, eingetragen 2004-02-10
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@Buri: Wir sind ständig davon ausgegangen, dass mit dem < ein <= gemeint war.
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mau
Junior
Dabei seit: 15.12.2005
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.13, eingetragen 2006-01-20
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Hi,
ich hab grad versucht Buris Beweis nachzuvollziehen da ich die selbe Aufgabe grad bearbeiten muss. Bei mir ist nur der unterschied dass der Exponent Alpha größer 1 ist.
Probleme hab ich mit dem vorletzten Schritt wo er die Summe weg macht. Ich seh doch richtig dass das eine Teleskopsumme ist somit würde doch nur (a0-an)^2 übrig bleiben wenn man die Summe von 1 bis n laufen lässt und das wäre ja (x-y)^2
Aber dann hab ich ja nur wieder die Def von Hölder Stetigkeit dastehen.
Seh ich es richtig dass man irgendwie eine Nullfolge hinbekommen muss damit |f(x)-f(y)| egal was man für x und y wählt gegen Null geht und somit f(x)=f(y) und somit konstante Funktion?
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.14, eingetragen 2006-01-20
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Hi,
es handelt sich nicht um eine Teleskopsumme. Aus der Definition der Folge a folgt
a_(i-1)-a_i = (x-y)/n .
Das mit der Nullfolge siehst du richtig.
Gruß
Martin
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mau
Junior
Dabei seit: 15.12.2005
Mitteilungen: 15
|  Beitrag No.15, eingetragen 2006-01-20
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Hab nochmal nachgerechnet und jetzt passts, vielen Dank :)
Jetzt versteh ich auch warum die Funktion konstant ist wenn Alpha größer 1 ist ;)
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