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  Wie viele verschiedene Dominosteine gibt es? |
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milkyway
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.10.2012
Mitteilungen: 23
 |  Themenstart: 2012-10-22
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Hallo Ihr Lieben,
ich habe folgende Aufgabe zu loesen:
AUFGABE:
Ein Dominostein ist ein Rechteck bestehend aus zwei Quadraten, wobei in jedem Quadrat durch Punkte eine Zahl von 1 bis n dargestellt wird.
Wie viele verschiedene Dominosteine gibt es.
LOESUNG:
Es gibt n Dominosteine, bei denen beide Quadrate identisch bepunktet sind, sowie (n ueber zwei) Dominosteine mit verschiedenen Punktzahlen. Man erhaelt also insgesamt 1/2(n^2+n) verschiedene Dominosteine.
Meine Fragen:
1. wie geht man an so eine Aufgabe generell ran?
2. heisst verschieden hier, dass zwei Steine z.B. (1,2) und (2,1) verschieden sind? Weil eigentlich koennte man sie ja umdrehen und haette den gleicehn Stein wieder?
3. Wie kommt der Verfasser der Aufgabe von (n ueber zwei) und n Dominosteinen auf seine abschliessende Loesung von 1/2(n^2+n)?
Vielen Lieben Dank Euch im Voraus,
milkyway
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Zetavonzwei
Senior 
Dabei seit: 07.03.2012
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2012-10-22
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Hallo,
2) Verschieden heißt hier tatsächlich, dass (1, 2) der gleiche Stein wie (2, 1).
3) reines Nachrechnen
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milkyway
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.10.2012
Mitteilungen: 23
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-10-22
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kann mir das vielleicht jemand mal vorrechnen, ich weiss schon wie ich z.B. 5 ueber 3 berechne. Nur ich komm mit dem n nicht klar, weil das ja n! wird und wie komme ich daraus dann auf dieses Ergebnis?
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Zetavonzwei
Senior
Dabei seit: 07.03.2012
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| Beitrag No.3, eingetragen 2012-10-22
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(n;2)=n!/((n-2)!*2!)=(n*(n-1))/(2!)=(n*(n-1))/2
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milkyway
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Dabei seit: 22.10.2012
Mitteilungen: 23
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-10-22
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ach man hat das 1/2 rausgezogen, darauf bin ich nicht gekommen :)
vielen Dank!
Jetzt ist nur noch die allgemeine Frage offen,
wie gehe ich an so eine Aufgabe generell heran?
Zeichnet Ihr Euch das ganze erst mit einigen Beispielen auf ein Blatt Papier und modelliert daraus dann die Formel, oder beginnt Ihr direkt mit einer Formel.
Ich meine so 6 aus 49 ist ja noch recht easy, aber hier bei so etwas habe ich irgendwie immer mit Probleme, drum wollte ich mal fragen wie Ihr das so anstellt.
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11462
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.5, eingetragen 2012-10-22
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Hallo
der erste Teil ist direkt, also n mit gleichen, der 2 te Teil direkt wie 6 aus 49 usw, du hast hier 2 aus n also wenn du 6 aus 49 kannst als
(49;6) dann sollte 2 aus n nicht schwieriger sein eben (n;2)
d.h du musst dir einmal klar machen dass k Objekte aus n auszusuchen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) (n;k) ist
bei 2 aus n kann man auch einfacher denken, n verschiedene erste, dann bleiben für die 2 te Position (n-1) dann hat man aber a,b und b,a doppelt gezählt also n*(n-1)/2 also die formeö (n;2) neu "erfunden!
bis dann, lula
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.6, eingetragen 2012-10-22
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Hi milkyway
Willkommen auf dem Planeten
\quoteon(2012-10-22 16:09 - milkyway in Beitrag No. 4)
Jetzt ist nur noch die allgemeine Frage offen,
wie gehe ich an so eine Aufgabe generell heran?
Zeichnet Ihr Euch das ganze erst mit einigen Beispielen auf ein Blatt Papier und modelliert daraus dann die Formel, oder beginnt Ihr direkt mit einer Formel.
\quoteoff
Man kann nicht immer an alles gleich mit Formeln rangehen. Entweder weil man die passende nicht kennt oder weil es gar keine gibt.
Aber den Verstand sollte man immer einsatzbereit haben 
Man braucht also eine passende Idee…
Sortier dir mal im Geiste die Steine.
Und zwar im ersten Schritt so, daß die größere der beiden Zahlen links liegt (die Steine mit gleichen Zahlen kannst du legen wie du willst  ).
Jetzt legst du sie in Reihen ab, und zwar so, daß alle Steine, die die gleiche linke Zahl haben, in eine Reihe kommen (also alle 1'er in die erste Reihe, alle 2'er in die zweite usw.). Geschickterweise sortierst du sie dann innerhalb der Reihe noch nach aufsteigenden rechten Zahlen (ist nicht wirklich nötig, hilft aber bei der Übersicht).
Was für ein Gebilde hast du nun vor dir (wie viele Steine liegen in der ersten Reihe, in der letzten)? Kannst du nun die Anzahl der Steine besser zählen?
Gruß vom ¼
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milkyway
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Dabei seit: 22.10.2012
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-10-22
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ich glaube ich habe mich zusehr von dem Wort verschieden ablenken lassen.
Die Idee da so ranzugehen:
zuerst die gleichen Steine herauszusuchen, also (1,1), (2,2), (3,3) usw. scheint mir schluessig zu sein.
Nun habe ich noch den Rest uebrig, also alle Steine die ungleich sind.
(1,2),(2,1),(3,1) ...
All diese kann ich mit n ueber 2 darstellen.
Soweit so gut. Jetzt sollte ich ja auf beide noch miteinander verheiraten, um auf meine finale Loesung zu kommen.
das n mit
\
(2;n)
ist mir noch klar, das wird gleichnamig gemacht, dann hab ich das + da stehen in den Klammern, sodass wir zur Finalen Loesung kommen.
Was mir noch irgendwie unklar erscheint ist dieser Schritt
(n;2)=n!/((n-2)!*2!)=(n*(n-1))/(2!)=(n*(n-1))/2
Und zwar hab ich Probleme mit n! ==> das das scheinbar n*(n-1) ist. 1. Warum ist das so? Sonst lerne ich das einfach so. (wahrscheinlich ne bloede Frage :D)
2. Warum wird aus (n-2)!*2! ein 2!. Also konkret: Warum faellt (n-2)! weg? Da muss irgend nen Zwischenschritt sein.
Danke Euch schonmal soweit :D
[ Nachricht wurde editiert von milkyway am 22.10.2012 19:03:47 ]
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Zetavonzwei
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2012-10-22
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Hallo,
ich habe n!/(n-2)! gekürzt (n! ist ja 1*2*...*(n-2)*(n-1)*n,
(n-2)! =1*2*...*(n-3)*(n-2), also ist n! =(n-1)*n*(n-2)!)
[ Nachricht wurde editiert von Zetavonzwei am 22.10.2012 19:06:58 ]
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viertel
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| Beitrag No.9, eingetragen 2012-10-22
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\quoteon(2012-10-22 19:02 - milkyway in Beitrag No. 7)
Was mir noch irgendwie unklar erscheint ist dieser Schritt
(n;2)=n!/((n-2)!*2!)=(n*(n-1))/(2!)=(n*(n-1))/2
Und zwar hab ich Probleme mit n! ==> das das scheinbar n*(n-1) ist. 1. Warum ist das so? Sonst lerne ich das einfach so. (wahrscheinlich ne bloede Frage :D)
2. Warum wird aus (n-2)!*2! ein 2!. Also konkret: Warum faellt (n-2)! weg? Da muss irgend nen Zwischenschritt sein.
\quoteoff
Schreib dir das doch mal für z.B. $n=7$, also $\displaystyle \binom{7}{2}$, ausführlich mit Produkten hin. Dann siehst du, was sich kürzen läßt. Und warum dann im allgemeinen Fall nur noch $n$ und $n-1$ übrig bleiben.
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milkyway
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.10.2012
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2012-10-22
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ich habe n!/(n-2)! gekürzt (n! ist ja 1*2*...*(n-2)*(n-1)*n,
(n-2)! =1*2*...*(n-3)*(n-2), also ist n! =(n-1)*n*(n-2)!)
Ich glaube das ist irgendwas falsch, da ist am Ende bei Dir auch noch ! mit reingerutscht.
Ich hab das mal versucht zu deuten:
Wenn ich n!/(n-2)! habe, kann ich das ja auch so schreiben (lt. Deiner Auskunft)
(1*2*...*(n-2)*(n-1)*n)/(1*2*...*(n-3)*(n-2))
dann kann ich ja folgendes kuerzen und komme doch auf das hier:
((n-1)*n)/((n-3))
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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viertel
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2012-10-22
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Welcher Faktor steht denn im Zähler vor dem $(n-2)$?
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milkyway
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.10.2012
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2012-10-22
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ach ich hab meinen Fehler gefunden.
Ich hab irgendwie verpeilt, dass n-3 ja auch weggeht, dann macht die Loesung natuerlich sinn.
Besten Dank Euch allen
Ich versuchs mal mit Ausreden fuer das was ich Euch angetan habe:
War spaet gestern, schlechte Nacht gehabt, scheiss Unitag, Colaautomat war leer
... glaubt mir eh keiner :D also - einfach Danke nochmal!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.13, eingetragen 2012-10-22
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Ok.
Es ist hier üblich, abgeschlossene Fragen entsprechend zu kennzeichnen.
Wenn es für Dich erledigt ist, dann setze doch bitte den "Erledigt"-Haken. Findest Du als ?Ok unter Deinen Posts. Oder, beim Schreiben einer Antwort, unter dem Eingabefenster.
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milkyway hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
milkyway hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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