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 Beweis vollständig? |
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SwizzoR
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 11.12.2010
Mitteilungen: 319
 |  Themenstart: 2012-11-08
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Hallo,
ich wollte einmal fragen, ob der Beweis so vollständig und in Ordnung wäre.
int(abs(sum(c_k*x^k,k=0,n)),x,,) = int(sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,n))^2),x,,)
z_1, z_2, ..., z_q sind die reellen Nullstellen von (sum(c_k*x^k,k=0,n))
sgn(x) ist die Signum-Funktion
= (x*sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,n))^2)*((sum(c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/((produkt(k+1,k=0,n))*((sum(c_k*x^k,k=0,n))))+((sum(sgn(x-z_p)*(lim(x->z_p^(-),((x*sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,n))^2)*((sum(c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/((produkt(k+1,k=0,n))*((sum(c_k*x^k,k=0,n))))))),p=1,q)))
Beispiel:
n = 2, c_0 = -1, c_1 = 0, c_2 = 1
z_1 = -1, z_2 = 1
int(sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,2))^2),x,,) = int(sqrt((x^2-1)^2),x,,)
= (x*sqrt((x^2-1)^2)*(2x^2-6))/(6*(x^2-1))+sgn(x+1)*2/3+sgn(x-1)*2/3
= (sqrt((x^2-1)^2)*(x^3-3x))/(3*(x^2-1))+2/3*(sgn(x+1)+sgn(x-1))
Behauptung siehe oben
Lemma 1:
int(sqrt(f(x)^2),x,,) = int(f(x),x,,) * 1/f(x) * sqrt(f(x)^2)
Beweis Lemma 1:
d/dx (int(f(x),x,,) * 1/f(x) * sqrt(f(x)^2))
= f(x) * sqrt(f(x)^2) * 1/f(x) + int(f(x),x,,) * (f(x)*f'(x))/sqrt(f(x)^2) * 1/f(x) - f'(x)/f(x)^2 * int(f(x),x,,) * sqrt(f(x)^2)
= sqrt(f(x)^2) + int(f(x),x,,) * f'(x)/sqrt(f(x)^2) - f'(x)/f(x)^2 * int(f(x),x,,) * sqrt(f(x)^2)
= sqrt(f(x)^2) + int(f(x),x,,) * (f'(x)/sqrt(f(x)^2) - f'(x)/f(x)^2 * sqrt(f(x)^2))
= sqrt(f(x)^2) + int(f(x),x,,) * ((f'(x)*f(x)^2)/(sqrt(f(x)^2)*f(x)^2) - (f'(x)*sqrt(f(x)^2)*sqrt(f(x)^2))/(f(x)^2*sqrt(f(x)^2)
= sqrt(f(x)^2) + int(f(x),x,,) * (0/(f(x)^2*sqrt(f(x)^2)))
= sqrt(f(x)^2)
q.e.d.
Lemma 2:
int(sum(c_k*x^k,k=0,n),x,,) = (x*((sum(c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/produkt(k+1,k=0,n)
Beweis Lemma 2:
d/dx ((x*((sum(c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/produkt(k+1,k=0,n))
= (((sum((k+1)*c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/produkt(k+1,k=0,n)
= (produkt(k+1,k=0,n)*((sum(c_k*x^k,k=0,n))))/produkt(k+1,k=0,n)
= sum(c_k*x^k,k=0,n)
q.e.d.
Beweis der Behauptung:
d/dx ((sum(sgn(x-z_p)*(lim(x->z_p^(-),((x*sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,n))^2)*((sum(c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/((produkt(k+1,k=0,n))*((sum(c_k*x^k,k=0,n))))))),p=1,q))) = 0
f(x) = sum(c_k*x^k,k=0,n)
1/f(x) = 1/sum(c_k*x^k,k=0,n)
sqrt(f(x)^2) = sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,n))^2)
int(f(x),x,,) = (x*((sum(c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/produkt(k+1,k=0,n) (nach Lemma 2)
Mit Lemma 1 ergibt sich die Behauptung.
q.e.d.
MfG
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LutzL
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-11-08
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Hi,
was genau willst Du zeigen? Dass
abs(x)=sqrt(x^2)
für jede reelle Zahl x gilt? (Womit die Integranden identisch wären und die erste Gleichung eine Trivialität.)
Ciao Lutz
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SwizzoR
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-09
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Hallo,
int(sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,n))^2),x,,) = (x*sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,n))^2)*((sum(c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/((produkt(k+1,k=0,n))*((sum(c_k*x^k,k=0,n))))+((sum(sgn(x-z_p)*(lim(x->z_p^(-),((x*sqrt((sum(c_k*x^k,k=0,n))^2)*((sum(c_k*x^k*((produkt(m+1,(m\el\ {0,...,n}\\{k}),))),k=0,n))))/((produkt(k+1,k=0,n))*((sum(c_k*x^k,k=0,n))))))),p=1,q)))
z_1, z_2, ..., z_q sind die reellen Nullstellen von (sum(c_k*x^k,k=0,n))
sgn(x) ist die Signum-Funktion
MfG
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SwizzoR
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-11
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
polygamma
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-18 02:21
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Hallo zusammen.
Das $\text{Resultat}$ von (https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=174350&post_id=1286227): https://docdro.id/zYFdsRP
tl;dr: Sei $f$ eine reelle, stetige Funktion. Seien $z_1$ bis $z_q$ die reellen Nullstellen von $f$. Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Sei $sgn$ die Signumfunktion. Es folgt:
$$\text{Eine reelle, endliche Vereinigung der Nullstellen und Stammfunktionen von } f \text{ durch } \int|f|$$
$$\int|f(x)|\,dx = F(x)\,sgn(f(x)) + \sum_{p=1}^qsgn(x-z_p)\lim_{x\to z_p-}F(x)\,sgn(f(x))$$
Ich frage mich
$$\text{(Wie) Kann man } z_1 \text{ bis } z_q \text{ berechnen, wenn man } F \text{ und } \int|f| \text{ kennt?}$$
$$\text{(Wie) Kann man } F \text{ berechnen, wenn man } z_1 \text{ bis } z_q \text{ und } \int|f| \text{ kennt?}$$
Ich frage mich jedoch vor allem
$$\text{(Wie) Kann man } \int|f| \text{ ohne } \int \text{ berechnen?}$$
$$\text{(Wie) Kann man } z_1 \text{ bis } z_q \text{ berechnen, wenn man } F \text{ kennt und } \int|f| \text{ berechnet ohne } \int \text{ zu nutzen?}$$
$$\text{(Wie) Kann man } F \text{ berechnen, wenn man } z_1 \text{ bis } z_q \text{ kennt und } \int|f| \text{ berechnet ohne } \int \text{ zu nutzen?}$$
Ich frage mich nun zu guter Letzt
$$\text{? Existiert eine nicht-reelle, unendliche Vereinigung der Nullstellen und Stammfunktionen ?}$$
$$\text{¯\_(ツ)_/¯}$$
Liebe Grüße
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polygamma
Aktiv 
Dabei seit: 18.02.2023
Mitteilungen: 59
Wohnort: Kiel
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-19 00:52
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Hallo zusammen.
Ich habe nun die Gedanken, die ich mir damals gemacht habe, herausgearbeitet und sie in https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=174350&post_id=1902906 eingepflegt.
PS: Ich habe nun auch neue Gedanken eingepflegt und alles zusammengefasst/komprimiert.
PPS: Ich habe nun auch explizite Fragen formuliert.
Liebe Grüße
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2023-03-26 19:32 U ?
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