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Kein bestimmter Bereich Lineare Abbildungen
Pgam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2001-11-29


Aufgabe 1:

Sei  V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Basis  b1,..., bn und seien  j und  y die durch

 j: V -> V,   b1 ->  b2,  b2 ->  b3 ,  ->  ,...,   bn-1 -> bn-1, bn -> b1

 y : V->V, b1 ->  b2,  b2 ->  b3 ,  ->  ,...,   bn-1 -> bn-1, bn -> O

definierten lineare Abbildungen.

a) Geben Sie die Matrixdarstellung A von j bzgl. der Basis  b1,...,bn an.

b) Geben Sie die Matrixdarstellung B von y bzgl. der Basis bn,...,b1 an.

c) Bestimmen Sie Rg(   Bk), für alle k  Î der natürlichen Zahlen.



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2001-11-30


Mach dir doch ein Beispiel, um das Prinzip zu erkennen:



b1 = (2,3)

b2 = (4,1)



Gesucht Matrix





A = ( a  b )

    ( c  d )



Mit A*b1 = b2

und A*b2 = b1



=>

2a + 3b = 4 (I)

2c + 3d = 1 (II)

und

4a + b = 2 (III)

4c + d = 3 (IV)



=> Gleichung (III) - 2*(I)

4a + b - 4a - 6b = 2 - 2*4

=> -5b = -6

=> b = 6/5

=> a = 2 - 3/2*6/5 = 1/5



=> Gleichung (IV) - 2*(II)

4c + d - 4c - 6d = 3 - 2

=> -5d = 1

=> d = -1/5

=> c = 4/5

 

Und noch eíne wichtige Beobachtung kann man machen.

Es gilt  A²*b1 = b1

    und A²*b2 = b2

d.h. A² = E, die Einheitsmatrix.



Kannst Du auch mit berechneten a,b,c,d nachprüfen.



Aus A²=E ergeben sich noch einige schöne Daraus kann man einige Gleichungen gewinnen:

a² + bc = 1

b*(a+d) = 0

c*(a+d) = 0

d² + bc = 1



d.h. z.B., daß in solchen Matrizen, die Basisvektoren vertauschen immer a² = d²

gilt. Und entweder ist a+d = 0 oder b. usw.



Gruß

Matroid



Da kann man fast eine Bauanleitung draus ableiten.



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Pgam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2001-12-02


Aufgabe 2:

Sei S: A x = b ein lineares Gleichungssystem, mit Matrix A Element   Cn x n und rechter Seite b Element  Cn. Sei außerdem  j:  Cn ->  Cn  die durch x -> A x gegebene lineare Abbildung. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen stets wahr sind, und begründen Sie Ihre Antworten.

[C...Menge der komplexen Zahlen]


a) det(A)  ¹ 0 <=> S besitzt eine eindeutige Lösung
b) Rg(A) < n <=> S ist unlösbar
c) b Element Im( j ) <=> S ist lösbar
d) Ker ( j ) = Lösungsmenge 0  =>  j  ist bijektiv
e)  AtA ist symmetrisch



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2001-12-03


Nochmal zur Aufgabe 1

Es ist doch eine Matrix A gesucht


A= (a11 a12 a13...
      a21 a22 a23
      a31 a32 a33 ....)

die mit B1= (b11 b21 b23 ...)
multipliziert

B2= (b21 b23 ...)ergeben soll

Kann es sein dass du es dir ein bisschen einfach gemacht hast indem du eine nxn-Matrix mit n=2 verwendet hast?
Es ist doch eigentlich eine nxn-Matrix gesucht mit n=n (mit hohem n-Wert)
Und da versagt meiner Meinung nach dein Methode.
Außerdem hast du angenommen dass A*b1 = b1 ist. Müsste nicht A*b1 = b2 sein ?

Ich hoffe du verstehst meine Fragen

Gruß
Pgam



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Anonymous
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2001-12-03


Hi Matroid

Wenn du gerad dabei bist die Beiträge zu beantworte, fänd ich es nett wenn du meinen auch gleich beantwortest. Den Beitrag mit der inversen Matrix konnte ja sogar ich beantworten.

P.S Ich brauch die Lösungen bis heute abend



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2001-12-03


Ich habe nicht behauptet, daß A*b1=b1 ist. Aber egal.

Aber du hast recht, ich habe die Aufgabe erst nicht verstanden.

Gesucht ist eine Matrix A mit A*b1 = b2, A*b2=b3 usw.
Und die Matrix des gegebenen Endomorphismus ist bzgl. der Basis b1, b2, ..., bn anzugeben.

Ein Vektor aus v hat bzgl. der Basis b1, ..., bn eine Darstellung
 v = c1*b1+c2*b2+...+cn*bn.

Bzgl der Basis b1',b2', ..., bn' hat er auch eine Darstellung, nämlich
 v = d1*b1'+d2*b2'+...+dn*bn'

Die gesuchte Matrix A ist die Matrix für den Basiswechsel, also die Matrix, die (c1,c2,...,cn) auf (d1,d2,...,dn) abbildet.

Da hier b1'=b2, b2'=b3, ..., bn'=b1 ist auch d1=c2, d2=c3, ..., dn=c1, denn die Darstellung eines veV als Linearkombination einer Basis ist eindeutig bestimmt.
Gesucht ist also die Matrix, die den Vektor (c1,c2,...,cn)
auf (c2,c3,...,cn,c1) abbildet.

Dann ist doch folgendes die gesuchte Matrix A:

( 0  1  0  ... 0  0 )
( 0  0  1  ... 0  0 )
( 0  0  0  ... 0  0 )
 ...
( 0  0  0  ... 0  1 )
( 1  0  0  ... 0  0 )

Probier's aus.

Gruß
Matroid



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2001-12-03


Nach dem Strickmuster wäre B =
( 0 1 0 0 ... 0 0 )
( 0 0 1 0 ... 0 0 )
...
( 0 0 0 0 ... 1 0 )
( 0 0 0 0 ... 0 0 )

Was meinst Du?
Dann ist rang(B1) = n-1
Und allgemein ist rang(Bk) = n-k



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