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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Fourierreihe von |sin(x)|
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Universität/Hochschule J Fourierreihe von |sin(x)|
anfaengerInMathe
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Hallo! Ich weiss, dass diese Aufgabe bestimmt öffters vorgekommen ist, da ich auch im Internet ein paar Sachen darüber gefunden habe, da es an manchen Stellen jedoch unterschiede gab, wollte ich nur auf Nummer sicher gehen, dass ich die Aufgabe auch richtig mache. Also ich soll die Fourierreihe für $u(x) = |sin(x)|$ gür $0 \leq x < \pi$ berechnen. 1) So am Anfang habe ich schon eine Frage, ich weiss, dass die Funktion gerade ist, aber ich wollte mir das herleiten und habe folgendes bekommen: $u(-x) = |sin(-x)| = |-sin(x)| = sin(x)$ - also zeigt das, dass die Funktion gerade ist? Müsste nicht genau genommen das stehen: $u(-x) =|sin(-x)| = |sin(x)| = u(x)$ , weil dann stimmt mein letzer schritt in der herleitung nicht? Sind beträge von funktionen immer gerade (ausser der e Funktion natürlich)? 2) So nun zur eigentlichen Aufgabe, da die Funktion gerade ist sind die b Terme 0, also muss man nur die a Terme berechnen: $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! f(x)cos(nx) \, dx $ Also aus dem Additonstheorem hat man: $2sin(x)cos(nx) = sin(x+nx) + sin(x-nx)$ $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! |sin(x)|cos(nx) \, dx  = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \! 2sin(x)cos(nx) \, dx $  So mir ist vollkommen klar, wieso das gleich ist, da wir ja wissen dass die Funktion gerade ist. Heisst das ich kann immer im Integral, wenn ich weiss, das die negativen werte in einer funktion das gleiche ergeben, einfach 0 bis x (also def grenze) und dann *2 die Formel nehmen? Also weiter.. $\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \! 2sin(x)cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \! sin(x+nx)+sin(x-nx) \, dx = \frac{1}{\pi} (\int_{0}^{\pi} \! sin(x+nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} \! sin(x-nx) \, dx) = \frac{1}{\pi}( (\frac{-cos(x+nx)}{n+1}) +  (\frac{-cos(x-nx)}{n-1}))$  -im letzten schritt natürlich die Grenzen einsetzen, wusste nicht, wie man das in latex schreibt. Stimmt das soweit? jetzt müsste ich dann unterscheiden ob n gerade oder ungerade ist.


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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-12-31

Hi Zu 1. Die Betragsstriche find für die periodische Fortsetzung wichtig. Daher gilt $u(-x) = |sin(-x)| = |-sin(x)| = |sin(x)| = u(x)$. Zu 2. Ohne jetzt deine Rechnungen überprüft zu haben. Wenn das Betrachtungsintervall $[0,\pi)$ ist, wie groß ist dann die Periode und wie müssten deine Integrationsgrenzen aussehen?


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-31

2) Meine Periode ist doch 2PI oder nicht? Die Grenzen von 0 bis PI haben sich ja geändert, da die Funktion gerade ist und der negative teil (-pi und pi) einfach dazugegeben kann. Verstehe nicht, was du meinst, bzw. wo genau mein fehler ist???


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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-12-31

Für die Periode T einer Funktion f(t) gilt ja f(t + T) = f(t). Wie sieht das hier aus? Beachte, dass hier $|\sin(x)|$ und nicht $\sin(x)$ gilt.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-31

ich verstehe leider immer noch nicht, was du meinst, mir ist bekannt, was periodisch bedeutet, aber da wir ja gezeigt haben, dass die funktion gerade ist, ist die grenze jetzt zwischen 0 und Pi. Tut mir leid, ich sehe echt nicht was du meinst :S


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  Beitrag No.5, eingetragen 2013-01-01

Worauf ich hinaus wollte ist, dass $|sin(x)|$ die Periode $\pi$ hat und dass das Integrationsintervall für die Fourier-Koeffizienten auch nur über eine Periode geht. Du integrierst aber über zwei Perioden, eben von $-\pi$ bis $\pi$.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-01

Aha, hmm ich habe die Formel aus dem Skript verwendet: $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! f(x)cos(nx) \, dx $ Und dann haben wir immer es so gemacht, dass wir den Intervall aufteilen, damit wir die Formeln in der Aufgabe verwenden können. Hier könnte man das ja auch machen: $ a_n = \int_{-\pi}^{\pi} \! sin|x|cos(nx) \, dx = a_n = \int_{-\pi}^{0} \! |sin(x)|cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} \! |sin(x)|cos(nx) \, dx$ Da aber die Funktion gerade ist, kann man das erste Intervall von 0 bis Pi laufen lassen und dann kann man die zwei addieren und man erhält das, was in meiner Lösung steht [ Nachricht wurde editiert von anfaengerInMathe am 01.01.2013 19:04:38 ]


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  Beitrag No.7, eingetragen 2013-01-01

In deinem Skript wird dann aber von $2\pi$-periodischen Funktionen ausgegangen. Der allgemeine Fall der der Fourier Koeffizienten ist ja $a_n = \frac{2}{T} \int_{c}^{c+T} \! f(x)cos(nx) \, dx $ Vergleich man die Gleichung aus deinem Skript mit dieser, bestätigt sich, dass $T = 2\pi$ ist. Aber für $|\sin(x)|$ ist T = $\pi$, was sich ganz leicht veranschaulichen lässt, wenn du die die Funktion über einen Bereich >$\pi$ aufzeichnest/plotest. [ Nachricht wurde editiert von Berufspenner am 01.01.2013 21:14:19 ]


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-01

Ah ok jetzt verstehe ich was du meinst! Mein erster Integralteil "fällt quasi weg", also es bleibt nur $ \int_0^\pi \! |sin(x)|cos(nx) \, dx  $ übrig? Ich hoffe, dass stimmt so jetzt :)?


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  Beitrag No.9, eingetragen 2013-01-01

\quoteon(2013-01-01 21:06 - anfaengerInMathe in Beitrag No. 8) Ah ok jetzt verstehe ich was du meinst! Mein erster Integralteil "fällt quasi weg", also es bleibt nur $ \int_0^\pi \! |sin(x)|cos(nx) \, dx  $ übrig? Ich hoffe, dass stimmt so jetzt :)? \quoteoff Reden wir lieber nicht von wegfallen lassen, sonst entwickeln sich da nachher ganz seltsame Vorstellungen, wie der richtige Weg zustande kommt. Das richtige Integral lautet hier einfach $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \! |sin(x)|cos(nx) \, dx  $ Daraus könntest du jetzt auch $a_n = \frac{2}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! |sin(x)|cos(nx) \, dx  $ machen. [ Nachricht wurde editiert von Berufspenner am 01.01.2013 21:18:48 ]


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-01

Hmmm das verstehe ich jetzt aber nicht. In der aufgabe steht also $ u(x) = |sin(x)|, \text{für} 0 \leq x < \pi $ Also ist mein u(x) nur gleich dem betrag von sin(x), wenn das integral zwischen 0 und PI liegt, also teilt man ja immer die integralgrenzen von den koeffizienten auf, um die Formel einsetzen zu können: $ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! f(x)cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{0} \! f(x)cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} \! f(x)cos(nx) \, dx$ und jetzt ist das erste integral doch gleich 0, weil es nicht in der aufgabe definiert ist?!?! und dann bleibt nur: $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \! f(x)cos(nx) \, dx = \int_{0}^{\pi} \! |sin(x)|cos(nx) \, dx$ also ohne den faktor 2 [ Nachricht wurde editiert von anfaengerInMathe am 01.01.2013 22:22:55 ]


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anfaengerInMathe
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-01

Es tut mir leid, dass ich so lange brauche! Aber das ist der Schritt, der mich am meisten verwirrt! Weil sonst ist meine Aufgabe quasi richtig, esseidenn mir fehlt dieser Faktor 2, was ich aber dann nicht nachfollziehen kann (was ich im vorherigen Beitrag schon gefragt -geschreiben habe)


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-01

Nur noch diese eine Sache und dann störe ich nicht mehr, versprochen :). Klar kann ich dieses Aufteilen der Grenzen weglassen, und dann somachen, wie du geschrieben hast, aber sollte dann nicht das gleiche rauskommen :S. Oder lieg ich richtig und du betrachtest es von -pi bis pi und bei mir in der aufgabe ist das u(x) ja nur von 0 bis pi. HELP!


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lula
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  Beitrag No.13, eingetragen 2013-01-01

hallo nach pi willst du doch die fkt periodisch fortsetzen, d.h. die Periode ist pi und nicht 2pi. das hast du ja auch im bereich -pi bis 0 gemacht. deine formel gilt nur fuer fkt mit der periode 2pi. du bruchst also auch den cos(2nx) und nicht cos(nx) bis dann lula [Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-02

Hallo lula! Dies beantwortet aber nicht meine Frage aus Beitrag NO10. Die Funktion ist 2PI -periodisch, ich weiss, aber die funktion ist nur def von 0 bis pi, wieso fällt dann mein erstes integral welches von -pi bis 0 geht nicht weg-da es ja nicht def ist nach aufgabenstellung??


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  Beitrag No.15, eingetragen 2013-01-02

Das folgende Bild sollte dir deine Funktion veranschaulichen Bildbeschreibung Es ist eindeutig eine Periode von $\pi$ zu erkennen.


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-03

Vielen Dank für die Veranschaulichung, aber ich habe schon verstanden, dass die Periode PI ist. Genau das verwirrt mich ja auch die ganze Zeit...weil so ist es ja auch in meiner Aufgabe definiert.. Integral von 0 bis PI ist doch genau das, also periode = PI. Mir war halt nur die ganze Zeit unklar, wieso sich das erste Integral (-pi 0) dazuaddiert, anstatt einfach null zu werden. Sonst hatte ich eure Erklärungen denke ich mal verstanden.


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  Beitrag No.17, eingetragen 2013-01-03

Die größte Verwirrung hat bei dir wohl v.a. der Blick in dein Skript gebracht, das nur $2\pi$-periodische Funktionen behandelt wink Beachte daher nur die Formel für den allgemeinen Fall der a-Koeffizienten in  Beitrag No.7 sowie dann die Anwendung auf diese Aufgabe in  Beitrag No.9.


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-03

Ja, das hat mich verwirrt und das in der Aufgabe halt stand: Gegeben ist die 2PI-periodische (also es stand 2PI) und dann der Definitionsbereich $ 0 \leq x < \pi $ und in den meisten beispielen im INternet x zwischen $-\pi \pi$ war. Deswegen dachte ich, ok meine aufgabe betrachtet nur die "hälfte". Aber ok, ich denke, ich hab es endlich verstanden! Danke [ Nachricht wurde editiert von anfaengerInMathe am 03.01.2013 13:40:21 ]


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  Beitrag No.19, eingetragen 2013-01-03

Wo stand in der Aufgabe, dass es eine $2\pi$-periodische Funktion sein? Wenn du Informationen aus der Aufgabenstellung unterschlagen hast, dann könnte sich hier alles ändern. Gib bitte die Aufgabe in ihrem Originalwortlaut noch einmal an.


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-04

Ich habe irgendwo oben die Aufgabe hingeschrieben, aber ich Idiot habe offensichtich den Teil vergessen: Gegeben ist eine $2\pi$-periodische Funktion $u(x) = |sin(x)| für $ 0 \leq x < \pi $$. Berechnen sie die FourierKoeff. Aber alleine die Aufgabenstellung ist verwirrend, die Funktion ist 2PI periodisch, aber nur von 0 bis PI definiert und sonst 0 :S - dann ist sie doch quasi PI periodisch?


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  Beitrag No.21, eingetragen 2013-01-04

Das erklärt nun das ewige aneinander Vorbeigerede wink In diesem Fall ist der Plot aus Beitrag No.15 nicht mehr korrekt für diese Aufgabe und es gilt letztlich doch $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \! f(x)cos(nx) \, dx$ Was lernen wir daraus? Unbedingt immer die korrekte und vollständige Aufgabe Posten!


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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-04

Ich habe nur noch eine Frage, also ist das nicht eine komische Definition, wenn es 2PI periodisch aber nur von 0 bis PI definiert ist.  Ist das dann nicht einfach PI periodisch :S? Ich hoffe du verstehst was ich meine, bzw. was mich verwirrt. VIelen Dank für die Nerven und die ewigen Antworten :).


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  Beitrag No.23, eingetragen 2013-01-04

Seltsam ist das nicht unbedingt. Stell dir doch statt dem sinusförmigen Verlauf vor, dass es von 0 bis $\pi$ ein ein konstanter Wert z.B. 1 ist, d.h. ein Rechteck. So hätte man eine periodische Folge von einsen und nullen, spricht ein binärsignal. [ Nachricht wurde editiert von Berufspenner am 04.01.2013 20:28:03 ]


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anfaengerInMathe
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2013-01-06

Hmmm oke ich denke ich verstehs jetzt! Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe :D!!


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anfaengerInMathe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
anfaengerInMathe hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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