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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Kokern, Isomorphismus konstruieren
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Universität/Hochschule Kokern, Isomorphismus konstruieren
Neu123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2013-01-10


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Hat vieleicht jemand einen Tipp für mich? Mit dem Hinweis komme ich leider nicht zu recht.



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Caldo
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Aus: Regensburg, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2013-01-13


Hallo!
Der Hinweis ist aber direkt der zu gehende Lösungsweg.

<math>\displaymath \begin{xy}\xymatrix{V^\prime\ar@{->>}[d]_{\pi}\ar[r]^{\iota}&
\ker(f)^\prime\\ V^\prime/\mathrm{im}(f^\prime)\ar@{.>}[ur]&}\end{xy}</math>

Nach Homomorphiesatz ist zu zeigen:
  •  <math>\iota</math> ist surjektiv
  •  <math>\ker(\iota)\subseteq\mathrm{im}(f^\prime)</math> 
  •  <math>\ker(\iota)\supseteq\mathrm{im}(f^\prime)</math> 


Wenn man sich dann überlegt, was die einzelnen Abbildungen so machen, ist das straightforward durch-"rechnen".

Grüße



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
Hat jemand was dagegen, den Beweis mal auszuführen, damit ich sehe wie man da vorgeht?

PS: Vielleicht noch eine direkte Frage. Ist ohne den Satz bereits klar, dass wenn $V/ker(f)$ auf $im(f)$ abbildet, umgekehrt die duale Abbildung f' von eben dieser Bildmenge im(f) dann auch genau auf $V/ker(f)$ abbildet?
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Triceratops
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Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
@digerdiga: Eventuell hast du die Definition der dualen Abbildung noch nicht verstanden. Für $f : V \to W$ ist $f' : W' \to V'$ definiert durch $f'(\omega)(v)=\omega(f(v))$.

Ansonsten: Was hast du bisher probiert in Bezug auf Caldos Beweisplan?
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1222
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Sind die Striche an V' und W' eigentlich wichtig? Eigentlich würde ich sagen V und V' sind gleich, oder ist das nur zur "formalen" Unterscheidung?


2018-03-12 07:39 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
@digerdiga: Eventuell hast du die Definition der dualen Abbildung noch nicht verstanden. Für $f : V \to W$ ist $f' : W' \to V'$ definiert durch $f'(\omega)(v)=\omega(f(v))$.

Meinst du, dass mein PS gerade die Definition der dualen Abbildung ist?



Ansonsten: Was hast du bisher probiert in Bezug auf Caldos Beweisplan?
Nix was man Beweis nennen kann. Ich probier aber mal darzulegen was ich denke:

1. $\iota : V' \rightarrow ker(f)'$ kann man ja zerlegen in
\[ \iota : ker(f)' \rightarrow ker(f)' \\
 \iota : V'/ker(f)' \rightarrow 0 \] wobei Letzteres gerade aus der Definition der Inklusion folgt (also dass das Komplement dann auf 0 abbildet)?
Da der obere Teil 1 zu 1 ist, also bijektiv, ist die gesamte Abbildung surjektiv.

3. Der Kern von $\iota$ ist also gerade $V' / ker(f)'$.
f bildet diese Menge nun gerade 1 zu 1 auf $im(f)'$ ab und umgekehrt bildet dann die duale Abbildung im(f)' über f' auf $im(f') \subseteq V' / ker(f)'$ ab.


Das ist vielleicht alles nur deskriptiv, aber besser bekomm ich es jetzt nicht hin...
\(\endgroup\)


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digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1222
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-13


Hab ich dich jetzt abgeschreckt?^^



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StefanVogel
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Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-17

\(\begingroup\)
2018-03-11 22:58 - digerdiga in Beitrag No. 2 schreibt:
PS: Vielleicht noch eine direkte Frage. Ist ohne den Satz bereits klar, dass wenn $V/ker(f)$ auf $im(f)$ abbildet, umgekehrt die duale Abbildung f' von eben dieser Bildmenge im(f) dann auch genau auf $V/ker(f)$ abbildet?

Für mxn Matrizen A gilt das, mit den Definitionen und Eigenschaften von Zeilen- und Spaltenraum ist

\(\begin{array}{rllllll}
V/\operatorname{Ker}(A) & = & \operatorname{Zeilenraum}(A) & = & \operatorname{Spaltenraum}(A^T) & = & \operatorname{Im}(A^T)\\
\operatorname{Ker}(A) & = & \operatorname{Zeilenraum}(A)^{\bot} & = & \operatorname{Spaltenraum}(A^T)^{\bot} & = & V'/\operatorname{Im}(A^T)\\
\operatorname{Im}(A) & = & \operatorname{Spaltenraum}(A) & = & \operatorname{Zeilenraum}(A^T) & = & W'/\operatorname{Ker}(A^T)\\
W/\operatorname{Im}(A) & = & \operatorname{Spaltenraum}(A)^{\bot} & = & \operatorname{Zeilenraum}(A^T)^{\bot} & = & \operatorname{Ker}(A^T)
\end{array}\)

\(f\) bildet \(V/\operatorname{Ker}(A)\) auf \(\operatorname{Im}(A)\) ab und \(f'\) bildet \(W'/\operatorname{Ker}(A^T)=\operatorname{Im}(A)\) auf \(\operatorname{Im}(A^T)=V/\operatorname{Ker}(A)\) ab. Für beliebige \(V\) und \(W\) gilt das nicht mehr, weil sie nicht zu \(V'\) und \(W'\) isomorph sein müssen.

2018-03-12 21:53 - digerdiga in Beitrag No. 4 schreibt:
Sind die Striche an V' und W' eigentlich wichtig? Eigentlich würde ich sagen V und V' sind gleich, oder ist das nur zur "formalen" Unterscheidung?

Leider ja, und ich habe dich wohl mit dem Link in die falsche Richtung geleitet. Die Striche weglassen und "irgendwie so muss das gehen" war auch mein erster Gedanke. Im Themenstart wird aber etwas anderes ausgesagt, Entschuldigung. Wir müssen zeigen, dass \(W/\operatorname{Im}(f)\) und \(\operatorname{Ker}(f')\) isomorph sind. Falls \(W=\operatorname{Im}(f)\) ist, dann besteht \(W/\operatorname{Im}(f)\) nur aus der einen Nebenklasse \(\operatorname{Im}(f)\). Auf der anderen Seite, wegen der Definition \(f'(\omega)(v)=\omega(f(v))\), bildet jedes Element \(\omega\) aus \(\operatorname{Ker}(f')\) den Bildraum \(\operatorname{Im}(f)\) auf die Null ab. Wegen \(W=\operatorname{Im}(f)\) kann das nur die Nullabbildung sein, \(\operatorname{Ker}(f')\) besteht auch nur aus einem Element.

Wenn es in \(W\) ein Element \(w\) außerhalb von \(\operatorname{Im}(f)\) gibt, dann gehören zu dieser Nebenklasse alle Elemente der Form \(w+w_{Im(f)}\), wobei \(w_{Im(f)}\) alle Elemente aus  \(\operatorname{Im}(f)\) durchläuft. Weitere Nebenklassen sind dann zu jeder Konstante C die Vielfachen\(C(w+w_{Im(f)})\). Sie ergeben einen eindimensionalen Raum. Man kann sich nun eine lineare Abbildung \(\omega\) überlegen, die alle \(w_{Im(f)}\) auf 0 abbildet und \(w\) auf die 1. Dann werden auch alle \(w+w_{Im(f)}\) auf die 1 abgebildet und die Elemente der anderen Nebenklassen auf C. Das ist meiner Meinung nach der entscheidende Punkt. Die Vielfachen von diesem \(\omega\) ergeben dann ebenfalls einen eindimensionalen Raum, welcher zu dem Raum der Nebenklassen \(\operatorname{Im}(f)\) isomorph ist. Wenn es dann noch weitere \(w\) gibt, muss man das auf noch mehr Dimensionen ausdehnen, aber da geht mir jetzt die Luft aus, das muss man alles eleganter herleiten. Ich hoffe, daß wenigstens das Prinzip etwas klar wird.

Falls wir den Beweis ganz schaffen, können wir die Striche ergänzen, dann ist auch \(W'/\operatorname{Im}(f')\) isomorph \(\operatorname{Ker}(f'')\) und wenn wir dann auch noch \(\operatorname{Ker}(f'')\) isomorph \(\operatorname{Ker}(f)'\) begründen können, haben wir einen alternativen Beweis für die Aufgabe im Themenstart gefunden.
\(\endgroup\)


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