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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Berechnung der Fourierkoeffizienten
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Universität/Hochschule J Berechnung der Fourierkoeffizienten
minigauss
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  Themenstart: 2013-02-02

Hallo Wir sprachen in der letzten Übung über das Berechnen der Fourierkoeffizienten a_k und b_k. Leider hatten wir nicht viel Zeit (wie eigentlich immer :( ). Zu Montag muss ich also 3 Aufgaben lösen. Habe damit begonnen und festgestellt, dass ich nicht viel verstanden habe. Viele Schritte die gemacht wurden, kann ich nicht nachvollziehen. Hier die Aufgabe: Berechnen Sie die Koeffizienten a_k und b_k der Fourierreihe p(x) := (a_0)/2 + sum((a_k * cos(kx) + b_k * (sin(kx))),k=1,\inf) für die nachfolgend genannten 2\pi - periodischen Funktionen f: a) f(x):= 1/(\pi^3) (x-\pi) für x \in [0,2\pi ) Mein bescheidener Lösungsversuch: f(x) := 1/\pi^3 * (x-\pi)^2 a_k := 2/T * int(f(x)cos(kx),x,c,c+2\pi) c \in IR, T... periode b_k := 2/T * int(f(x)sin(kx),x,c,c+2\pi) c \in IR, T... periode ---------------------------------- f(x) ist gerade g(x) = cos(kx) ist gerade h(x) = sin(kx) ist ungerade => f(x)g(x) ist gerade => f(x)h(x) ist ungerade {Das wurde in der Übung gemacht, warum ist das wichtig?} ---------------------------------- a_k = 1/\pi int(f(x)cos(kx),x,-\pi,\pi) = 2/\pi int(f(x)cos(kx),x,0,\pi) {Vielleicht eine dumme Frage aber wieso wurde das gemacht?} a_k = 2/\pi stammf(1/\pi^3 * (x - \pi)^2 * cos(kx),0,\pi) = ... = 0 b_k = 2/\pi stammf(1/\pi^3 * (x - \pi)^2 * sin(kx),0,\pi) = ... = - 2k/\pi^2 {bei beiden Ergebnissen bin ich mir nicht 100% sicher. Spielt aber im prinzip auch erstmal keine Rolle, da ich nicht sicher bin, ob mein Weg überhaupt richtig ist.} a_0 = 0, da a_k = 0 (??) => sum(- 2k/\pi^2 * sin(kx),k=1,\inf) {Muss ich das überhaupt machen? Ist ja nur nach a_k und b_k gefragt} Ich hoffe, ihr könnt mir abermals unter die Arme greifen.


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lula
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  Beitrag No.1, eingetragen 2013-02-02

Hallo Wenn man eine ungerade fkt von -a bis +a integriert ergibt sich 0, man muss also das Integral nicht berechnen. d.h bei geraden fkt. f(x) fallen die bk weg, bei ungeraden die ak  beim integrieren über gerade fkt kann man statt von -a bis +a zu int. 2* das Integral von 0 bis a berechnen. 2. du hast die Integrale hingeschrieben, aber gar nicht integriert, sondern einfach den Integranden hingeschrieben., d,h, du hast die eigentliche Arbeit (das integrieren) noch nicht gemacht, bis dann, lula


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minigauss
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-02-03

\quoteon(2013-02-02 12:15 - lula in Beitrag No. 1) Wenn man eine ungerade fkt von -a bis +a integriert ergibt sich 0, man muss also das Integral nicht berechnen. d.h bei geraden fkt. f(x) fallen die bk weg, bei ungeraden die ak  beim integrieren über gerade fkt kann man statt von -a bis +a zu int. 2* das Integral von 0 bis a berechnen. \quoteoff In den zwei Sätzen habe ich mehr verstanden als in der Übung. Ich danke dir sehr. Sehe ich es dann richtig, wenn ich eine fkt habe die von a bis b integriert werden soll, dass dann nur durch die Betrachtung von ungerade/gerade nicht gesagt werden kann, ob ein Integral 0 wird? Das heißt, ich kann nicht von vornherein sagen, dass bei meiner Aufgabe, eines der Integrale 0 wird, da es eine ungerade funktion enthält? Die Grenzen laufen ja von 0 bis 2pi. \quoteon(2013-02-02 12:15 - lula in Beitrag No. 1) 2. du hast die Integrale hingeschrieben, aber gar nicht integriert, sondern einfach den Integranden hingeschrieben., d,h, du hast die eigentliche Arbeit (das integrieren) noch nicht gemacht, \quoteoff Also das verstehe ich nicht. Ich habe a_k und b_k integriert und habe zwei Ergebnisse. a_k ist 0, was falsch sein dürfte nach deiner obigen Erläuterung. b_k dürfte dann auch falsch sein. Ich vermute, meine aufgestellten Integrale sind falsch. Müssten lauten: a_k := 1/\pi * int(1/\pi^3 * (x-\pi)^2 * cos(kx),x,0,2\pi) b_k := 1/\pi * int(1/\pi^3 * (x-\pi)^2 * sin(kx),x,0,2\pi) [ Nachricht wurde editiert von minigauss am 03.02.2013 09:32:41 ]


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lulz
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  Beitrag No.3, eingetragen 2013-02-03

Hi, Deine Funktion hat ja bei π eine Nullstelle und ist ein Polynom 2ten Grades, deshalb sind hier die b_k=0. Dementsprechend kannst du bei a_k auch noch etwas vereinachen.


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minigauss
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-02-03

\quoteon(2013-02-03 11:10 - lulz in Beitrag No. 3) Deine Funktion hat ja bei π eine Nullstelle und ist ein Polynom 2ten Grades, deshalb sind hier die b_k=0. Dementsprechend kannst du bei a_k auch noch etwas vereinachen. \quoteoff Langsam verstehe ich es. Ungeachtet allem wie die Grenzen verlaufen ist a_k immer genau dann 0, wenn f ungerade ist und b_k = 0 genau dann, wenn f gerade. Da f(x) gerade ist folgt: b_k := 1/\pi * int(1/\pi^3 * (x-\pi)^2 * sin(kx),x,0,2\pi) = 0 Für a_k meinst du sicherlich, dass ich nur bis pi integrieren brauch, da sie symmetrisch ist und ich deshalb den Flächeninhalt nur verdoppeln brauche? Ich zeige das also, in dem ich die doppelte Nst berechne, die bei pi liegt. Daraus folgt dann: a_k := 2/\pi * int(1/\pi^3 * (x-\pi)^2 * cos(kx),x,0,\pi) Als Ergebnis habe ich: a_k = 4/(k^2 * pi^3) Hoffe ich habe mich nicht vertan. Ist das soweit OK?


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lulz
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  Beitrag No.5, eingetragen 2013-02-03

Das a_0 fehlt, und ja das meinte ich damit. :-) a_k sieht beim gut aus. (habe ich aber nicht nachgerechnet, weil ich ein bisschen im Stress bin...) Du kannst dein Ergebnis ganz leicht selbst überprüfen, wenn du dir die Funktion selbst und deren Fourierreihe für die ersten paar Glieder plotten lässt. (z.B. mit WolframAlpha) [ Nachricht wurde editiert von lulz am 03.02.2013 15:06:52 ]


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minigauss
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2013-02-03

\quoteon(2013-02-03 15:04 - lulz in Beitrag No. 5) Das a_0 fehlt. \quoteoff a_0 müsste sich doch allgemein so berechnen a_0 := 2/T * int(f(x),x,c,c+T) da c frei wählbar, nehme ich hier 0 und dann ergibt sich für meine Aufgabe: a_0 := 1/\pi * int(f(x),x,0,2*\pi) mit Beachtung der Symmetrie schließlich: 2/\pi * int(1/\pi^3 * (x-\pi)^2,x,0,\pi) = 2/\pi^4 * stammf(1/3 (x-\pi)^3,0,\pi) = 2/\pi^4 (1/3 (\pi - \pi)^3 - (1/3 (0 - \pi)^3)) = 2/\pi^4 (\pi^3/3) = 2\pi^3/3\pi^4 = 2/3\pi Edit: hatte hier einen Exponenten übersehen, sollte jetzt stimmen. Ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht vertan. Bin nicht an meinem Arbeitsplatz. :S Ich danke dir, dass du dir trotz deines Stresses Zeit für mich nimmst. :) [ Nachricht wurde editiert von minigauss am 04.02.2013 08:01:32 ]


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