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Strukturen und Algebra » Gruppen » Sylowgruppen paarweise disjunkt?
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Universität/Hochschule Sylowgruppen paarweise disjunkt?
flo_yd
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  Themenstart: 2013-03-09

Hallo, ich habe in einem Beweis gelesen, dass Sylowgruppen paarweise disjunkt sind. Kann mir jemand kurz erklären, warum das so sein muss? Beispielsweise hier: müssen die 2-Sylowgruppen einer Gruppe der Ordnung 56 alle paarweise disjunkt sein? Gruß, Flo


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egndgf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2013-03-09

Hallo, der Schnitt einer beliebigen Familie von Untergruppen einer Gruppe kann niemals leer sein, denn er enthält immer das neutrale Element. MfG egndgf


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Calculus
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  Beitrag No.2, eingetragen 2013-03-09

Das ist i.A. nicht der Fall. Betrachte die 2-Sylowuntergruppen von S4. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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flo_yd
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-09

ich meine mit disjunkt, dass sie nur den trivialen Schnitt haben. Wie ist so ein Satz zu verstehen: "Die 7-Sylowgruppen in einer Gruppe mit Ordnung 56 sind paarweise disjunkt, weil sie Primzahlordnung haben." In einem andern Fall wurde auch bereits mit dem Satz von Lagrange argumentiert. Ich verstehe aber nicht ganz, wo sich da der Widerspruch ergibt, wenn zwei 7-SG nicht nur den trivialen Schnitt haben. Gruß, Flo


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egndgf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2013-03-09

Hallo, die 7-Sylowgruppen haben jeweils nur sieben Elemente; nach dem Satz von Lagrange haben sie deshalb nur die beiden trivialen Untergruppen. Damit folgt das, was du zeigen willst, wenn du benutzt, dass der Schnitt zweier (eigentlich sogar beliebig vieler) Untergruppen wieder eine Untergruppe ist. MfG egndgf


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flo_yd
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-09

Hallo egndgf, vielen Dank, jetzt ist mir das klar geworden. Gruß, Flo


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Calculus
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  Beitrag No.6, eingetragen 2013-03-09

Wäre im Schnitt zweier verschiedener Gruppen ein Element a ≠ e enthalten, wäre seine Ordnung 7. Damit wäre das Element jedoch ein Erzeuger beider Untergruppen und beide wären gleich. Diese Argumentation funktioniert allerdings nur wenn die Ordnung der p-Sylowuntergruppen p ist. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kiwi98
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-18

Ich wollte noch ergänzen, dass man etwa zeigen kann: Sei $G$ eine endliche Gruppe und $H$ Normalteiler von $G$ mit $|H|=p$ mit $p$ Primzahl. Dann ist $H$ in jeder p-Sylowuntergruppe von $G$ enthalten und damit die p-Sylowuntergruppen auch nicht paarweise disjunkt.


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