Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 23.05.2022 00:29 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Sylowgruppen paarweise disjunkt?
Autor
Universität/Hochschule Sylowgruppen paarweise disjunkt?
flo_yd
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.11.2008
Mitteilungen: 411
  Themenstart: 2013-03-09

Hallo, ich habe in einem Beweis gelesen, dass Sylowgruppen paarweise disjunkt sind. Kann mir jemand kurz erklären, warum das so sein muss? Beispielsweise hier: müssen die 2-Sylowgruppen einer Gruppe der Ordnung 56 alle paarweise disjunkt sein? Gruß, Flo

   Profil
egndgf
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2006
Mitteilungen: 16018
Wohnort: Mindelheim
  Beitrag No.1, eingetragen 2013-03-09

Hallo, der Schnitt einer beliebigen Familie von Untergruppen einer Gruppe kann niemals leer sein, denn er enthält immer das neutrale Element. MfG egndgf

   Profil
Calculus
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.08.2012
Mitteilungen: 6086
  Beitrag No.2, eingetragen 2013-03-09

Das ist i.A. nicht der Fall. Betrachte die 2-Sylowuntergruppen von S4. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

   Profil
flo_yd
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.11.2008
Mitteilungen: 411
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-09

ich meine mit disjunkt, dass sie nur den trivialen Schnitt haben. Wie ist so ein Satz zu verstehen: "Die 7-Sylowgruppen in einer Gruppe mit Ordnung 56 sind paarweise disjunkt, weil sie Primzahlordnung haben." In einem andern Fall wurde auch bereits mit dem Satz von Lagrange argumentiert. Ich verstehe aber nicht ganz, wo sich da der Widerspruch ergibt, wenn zwei 7-SG nicht nur den trivialen Schnitt haben. Gruß, Flo

   Profil
egndgf
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2006
Mitteilungen: 16018
Wohnort: Mindelheim
  Beitrag No.4, eingetragen 2013-03-09

Hallo, die 7-Sylowgruppen haben jeweils nur sieben Elemente; nach dem Satz von Lagrange haben sie deshalb nur die beiden trivialen Untergruppen. Damit folgt das, was du zeigen willst, wenn du benutzt, dass der Schnitt zweier (eigentlich sogar beliebig vieler) Untergruppen wieder eine Untergruppe ist. MfG egndgf

   Profil
flo_yd
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.11.2008
Mitteilungen: 411
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-09

Hallo egndgf, vielen Dank, jetzt ist mir das klar geworden. Gruß, Flo

   Profil
Calculus
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.08.2012
Mitteilungen: 6086
  Beitrag No.6, eingetragen 2013-03-09

Wäre im Schnitt zweier verschiedener Gruppen ein Element a ≠ e enthalten, wäre seine Ordnung 7. Damit wäre das Element jedoch ein Erzeuger beider Untergruppen und beide wären gleich. Diese Argumentation funktioniert allerdings nur wenn die Ordnung der p-Sylowuntergruppen p ist. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

   Profil
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kiwi98
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 23.10.2019
Mitteilungen: 38
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-18

Ich wollte noch ergänzen, dass man etwa zeigen kann: Sei $G$ eine endliche Gruppe und $H$ Normalteiler von $G$ mit $|H|=p$ mit $p$ Primzahl. Dann ist $H$ in jeder p-Sylowuntergruppe von $G$ enthalten und damit die p-Sylowuntergruppen auch nicht paarweise disjunkt.

   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]