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Universität/Hochschule a^2=3 in Z_109
Mogelbaum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2013-07-23


Konnte grade diese Aufgabe in einer Klausur nicht lösen:

Finde a, sodass a^2=3 in Z109. Als Hinweis stand dort noch, dass 121=109+12 ist.



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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2013-07-23


Hi Mogelbaum,

der Hinweis führt einen auf die Gleichung <math>11^2 = 12</math> in <math>\mathbb{Z}/109</math>. Da <math>4 = 2^2</math> in diesem Ring invertierbar ist, erhalten wir <math>(\frac{11}{2})^2 = \frac{12}{4} = 3</math>.


Viele Grüße,
Dune



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Mogelbaum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-07-23


Was soll den jetzt die Lösung sein?
a muss doch eine ganze Zahl zwischen 0 und 108 sein.



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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2013-07-23


Eine Lösung ist <math>\frac{11}{2} = 11 \cdot 2^{-1}</math>. Du kannst diesen Wert natürlich noch ausrechnen, indem du das Inverse von <math>2</math> in <math>\mathbb{Z}/109</math> bestimmst.



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2013-07-23


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LG chryso



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Mogelbaum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-07-23


2013-07-23 16:58 - chryso in Beitrag No. 4 schreibt:

2*x=1(109)

Wie kommst du darauf?
Und an welcher Stelle soll ich beide Seiten multiplizieren?

2013-07-23 16:51 - Dune in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine Lösung ist <math>\frac{11}{2} = 11 \cdot 2^{-1}</math>. Du kannst diesen Wert natürlich noch ausrechnen, indem du das Inverse von <math>2</math> in <math>\mathbb{Z}/109</math> bestimmst.
Ich verstehe nicht, was Brüche in Z109 seien sollen. Bei -2 würde ich verstehen, dass ich das Inverse nehmen muss aber nicht bei 2^-1.
[ Nachricht wurde editiert von Mogelbaum am 23.07.2013 17:16:27 ]



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philippw
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2013-07-23


Allgemein ist 2-1 eine Zahl, die 2*2-1=1 erfüllt. Wenn man die Gleichung 2x=11 nach x auflösen will, muss man dann nur mit 2-1 multiplizieren, und schon kennt man x.

Beispiel: In Z/19Z ist 4-1=5 weil 4*5=20=1 ist.



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"Eine Wissenschaft ist erst dann als voll entwickelt anzusehen, wenn sie dahin gelangt ist, sich der Mathematik bedienen zu können."
Karl Marx



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Mogelbaum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2013-07-23


Ok, das inverse zu 2 ist 55 und 55*11 ist 60 in Z109. Danke.

Komme ich mit dem gleichen verfahren auch auf die zweite Lösung (49)?
(Ich weiß, dass wenn ich 60 kenne auch direkt auf 49 schließen kann).
[ Nachricht wurde editiert von Mogelbaum am 23.07.2013 19:05:42 ]



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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2013-07-23


<math>x^2 = (-x)^2</math>



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2013-07-23


2013-07-23 17:11 - Mogelbaum in Beitrag No. 5 schreibt:
2013-07-23 16:58 - chryso in Beitrag No. 4 schreibt:

2*x=1(109)

Wie kommst du darauf?

Verstehst du nun, warum ich diese Gleichung aufgeschrieben habe?
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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2013-07-24


Was übrigens das Inverse von 2 mod n für ein beliebiges ungerades n betrifft, so lohnt es sich vielleicht zu merken, dass dieses schlicht und einfach

<math>\frac {n+1}2</math>

ist, wie man sofort nachrechnet...



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Mogelbaum hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mogelbaum hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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