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Strukturen und Algebra » Gruppen » Subnormalreihen in S_8
Thema eröffnet 2013-09-29 17:15 von Ehemaliges_Mitglied
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Autor
Universität/Hochschule Subnormalreihen in S_8
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-15


ich bezog mich auf

Harold M. Edwards  Galois Theory

books.google.de/books?id=0bH6SUHSvloC&pg=PA19

de.scribd.com/doc/35351178/Galois-Theory-Harold-Edwards
Irgendwo gabs das mal zum kompletten download, finds nicht mehr.

Der sehr schön über Newton identities über Resolventen zu normal subgroups und dem Hauptsatz kommt.
Da wurde auch das B(t) erwaehnt wohl <math>Z(x_1,x_2,x_3,x_4)</math> oder ein Teil davon.
Ich versuch noch mal die Frage die einfach in meinem kopf aber schwer zu formulieren ist zu geben.
In Inavariantenringe R(G) wobei G von id bis S_4 gehen, haben einen Teilmengenbezug zueinander, R(id) ist groesser als r(D_4) ist groesser als R(S_4). Man kann die Bahnen und Stabilisatoren der Polynome aus R(G)untersuchen ich komme darauf zurück.
jürgen






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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2013-11-07


Gegeben die Menge der Nullstellen von <math>f(x) = x^4-3 = \{x_1,x_2,x_3,x_4\} = \{r,s,t,u \} = V = \{a,ia,-a,-ia \} </math>

Jetzt betrachte alle denkbaren Polynome in <math> t_i \in Z[V]</math>

z.b
<math>t_0 = r^2 </math>
<math>t_1 = r^2 + s^2 + t^2 + u^2</math>
<math>t_1 = r^2 + s^2 - t^2 - u^2</math>
<math>t_2 = r^2 + s^2</math>
<math>t_3 = r^3+ t^2 </math>
<math>t_4 = (r^2  + s^2)(t^2 + u^2) </math>
<math>t_5 = (r^2  - s^2)(t^2 - u^2) </math>
<math>t_6 = r - s - t - u</math>
<math>t_7 = r + s + t - u</math>
<math>t_8 = 2r^3 + 2s^3 - 2t^3 - 2u^3</math>
<math>t_9 = r^4 \pm s^4 \pm t^4 \pm u^4</math> (ist nicht sinnvoll da <math>r^4, s^4, t^4, u^4 = 1</math>
<math>t_{11} = (r^3  + s^3)(t^3 - u^3) </math>

also ich betrachte nun den gesamten Polynomring <math>Z[r,s,t,u] = Z[V]</math>. Ich weiss leider nicht, wie man den formal richtig hinschreibt. der hat abzaehlbar unendlich viele Elemente.

Offenbar sind obige <math>t_{0..11} \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] = V^{id}</math>

Offenbar sind alle denkbaren <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] = V^{id}</math> invariant gegen <math><id></math>

Einige  <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{(rs)}</math> sind invariant gegen <math><(rs)></math>.
Einige  <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{(rs)(tu)}</math> sind invariant gegen <math><(rs)(tu)></math> oder <math>C_2 \times C_2</math>
Einige  <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{V_4}</math> sind invariant gegen <math>V_4</math>.
Einige  <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{D_4}</math> sind invariant gegen <math>D_4</math>.
Einige  <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{S_3}</math> sind invariant gegen <math>S_3</math>.
Einige  <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{A_3}</math> sind invariant gegen <math>A_3</math>.

Diese nenne ich teilsymmetrisch in V.

Einige  <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{S_4}</math> sind invariant gegen <math>S_4</math>.

Die nenne ich symmetrisch in V,

Es ist <math>V^{S_4} \subset  V^{D_4}  \subset  V^{V_4}  \subset  V^{C_2} \subset  V^{(rs)}\subset  V^{id} </math>.

Jetzt ist die Behauptung:

Gegeben sind die Nullstellen von <math>f(x) = x^4 -3 </math> sind
<math>\{x_1,x_2,x_3,x_4\} = \{r,s,t,u \} = V = \{a,ia,-a,-ia \} </math>
Behauptung :
Die Galoisgruppe von <math>f(x) = x^4 -3 </math> ist <math>D_4</math>.
Zeige dass anhand teilsymmetrischer Polynome s.o.!

Es gibt nun viele <math>t_x \in V^{D_4} , t_x \notin  V^{S_4}</math>.

Ich kann nun alle <math>t_j \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{D_4} \land  t_j \notin  V^{S_4}</math> mit einem superschnelle Rechner aufstellen, und sehen dass meine gefundenen <math>t_j</math> im Invarianzring <math>V^{D_4}</math> liegen, und zwar NUR in diesem oder den darunter, darinliegenden <math>V^{V_4}  \subset  V^{C_2} \subset  V^{(rs)}\subset  V^{id} </math>
Läge eins der t_j in V^{S_3} dann waere die Behauptung wiederlegt.
das ist natürlich irreal durchzuführen.
So gibt es nun EIN "diskriminantes" Polynom <math>t_k \in Z[V]</math>, an dem ich genau erkennen kann , ok, wenn dieses <math>t_k \in V^{D_4}, t_x \notin  V^{S_4}</math>  liegt, und gegen alle anderen permutationen aus S_4 nicht fest bleibt, ist D_4 definitiv die Galoisgruppe von f(x)?
um noch weiterzugehen was genau macht eigentlich die Galoisgruppe genau noch anderes, ausser die elemente des Invariantenring invariant festzu halten?

Ok wir koennen etwas über die auflösbarkeit, körpertürme etc aussagen.
Aber was genau wird eigentlich worin permutiert mit einer "sinnhaften" Anwendbarkeit? der letze satz mag etwas blasphemisch klingen ich weiss um die Genialität der Korrespondenz

jedoch ich lege dir ein irreduzibels Polynom 8ten Grades  g = x^8 + 12*x^6 + 48*x^4 + 68*x^2 + 17 vor und die nullstellen, und behaupte die galoisgruppe hat Ordnug 24 wie kannst du das zeigen oder widerlegen?
Danke



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2013-11-08


2013-11-07 17:24 - juergen007 in Beitrag No. 41 schreibt:
Gegeben die Menge der Nullstellen von <math>f(x) = x^4-3 = \{x_1,x_2,x_3,x_4\} = \{r,s,t,u \} = V = \{a,ia,-a,-ia \} </math>

Jetzt betrachte alle denkbaren Polynome in <math> t_i \in Z[V]</math>
Das geht so nicht. <math>\mathbb{Z}[V]</math> ist ein Teilring von <math>\mathbb{C}</math> (oder dem Körper L) und kein Polynomring. Du solltest nicht mit demselben Buchstaben Unbestimmte und Nullstellen bezeichnen. Nimm <math>x_1, ..., x_4</math> für die Unbestimmten eines Polynomrings und <math>a,ia,-a,-ia</math> für die Nullstellen des Polynoms.


Offenbar sind alle denkbaren <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] = V^{id}</math> invariant gegen <math><id></math>
Korrekt.


... <math><(rs)(tu)></math> oder <math>C_2 \times C_2</math>
Das ist nicht dieselbe Gruppe. <(rs)(tu)> hat Ordnung 2, die Kleinsche Vierergruppe hat Ordnung 4.


Einige  <math>t_i \in Z[x_1,x_2,x_3,x_4] \in V^{D_4}</math> sind invariant gegen <math>D_4</math>.
Beachte, dass <math>S_4</math> drei verschiedene Gruppen enthält, die zu <math>D_4</math> isomorph sind und alle drei verschiedene (aber isomorphe) Invariantenringe haben.
Noch schlimmer ist es, wenn du nur <math>C_2</math> schreibst. Während die verschiedenen Kopien von <math>D_4</math> wenigstens alle konjugiert sind, gibt es zwei verschiedene Konjugiertenklassen von Gruppen der Ordnung 2 in <math>S_4</math>, nämlich die von Transpositionen erzeugten und die von Doppeltranspositionen erzeugten.


Es ist <math>V^{S_4} \subset  V^{D_4}  \subset  V^{V_4}  \subset  V^{C_2} {\textcolor{red}{\subset}}  V^{(rs)}\subset  V^{id} </math>.
Die markierte Inklusion stimmt nicht, weil <math>(rs)</math> kein Element von <math>V_4</math> ist.


So gibt es nun EIN "diskriminantes" Polynom <math>t_k \in Z[V]</math>, an dem ich genau erkennen kann , ok, wenn dieses <math>t_k \in V^{D_4}, t_x \notin  V^{S_4}</math>  liegt, und gegen alle anderen permutationen aus S_4 nicht fest bleibt, ist D_4 definitiv die Galoisgruppe von f(x)?
Das könnte sein. Folgende Idee:
Sei <math>H\leq S_n</math> eine Permutationsgruppe. Ein Polynom <math>F\in\mathbb{Q}[x_1,...,x_n]</math> heißt relative <math>H</math>-Invariante, wenn <math>F\in\mathbb{Q}[x_1,...,x_n]^H</math>, aber <math>F^g\neq F</math> für alle <math>g\in S_n\setminus H</math>. Man kann zeigen, dass so etwas immer existiert, z.B. ist
<math>F=\sum_{\sigma\in H} (\prod_{i=1}^{n-1} X_i^i)^\sigma</math>
ein Beispiel für solch ein Element (ja, das heißt wirklich n-1).

Wenn man jetzt ein Polynom <math>f\in\mathbb{Q}[T]</math> mit Nullstellen <math>\alpha_1, \ldots,\alpha_n\in\mathbb{C}</math> und Zerfällungskörper <math>L</math> hat, dann kann man den Auswertungshomomorphismus
<math>\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]\mapsto L, x_i\mapsto\alpha_i</math>
betrachten. Wenn <math>G\leq S_n</math> nun die Permutationsgruppe ist, die via Permutation der Nullstellen der <math>Gal(L|\mathbb{Q})</math> entspricht, dann wird ein Polynom <math>p\in\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]</math>, welches <math>G</math>-invariant ist, auf eine rationale Zahl abgebildet (statt auf ein beliebiges Element von L).

Die Idee, die ich nun habe (von der ich aber nicht weiß, ob sie funktioniert), ist, dass man für jede Untergruppe <math>H\leq S_n</math> eine relative <math>H</math>-Invariante <math>F_H</math> in obigem Sinne finden könnte, sodass <math>F_H(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)</math> genau dann rational ist, wenn <math>G\leq H</math> gilt. Wenn man so ein Polynom für jede Untergruppe <math>H</math> konstruieren kann, dann kann man die Galoisgruppe (als Untergruppe von <math>S_n</math>) eindeutig bestimmen. Das setzt natürlich voraus, dass man <math>F_H</math> konstruieren kann, ohne die Galoisgruppe bereits zu kennen.
Möglicherweise gibt es dafür ein Verfahren, aber ich sehe es im Moment nicht. Irgendwie habe ich das Gefühl, das fast alle relativen <math>H</math>-Invarianten auch tatsächlich geeignet sind <math>F_H</math> und man daher überhaupt nicht lange suchen muss. Aber mir fehlt hier irgendwie die entscheidende Einsicht.


um noch weiterzugehen was genau macht eigentlich die Galoisgruppe genau noch anderes, ausser die elemente des Invariantenring invariant festzu halten?

Ok wir koennen etwas über die auflösbarkeit, körpertürme etc aussagen.
Aber was genau wird eigentlich worin permutiert mit einer "sinnhaften" Anwendbarkeit?
Ich verstehe die Frage(n) überhaupt nicht.



jedoch ich lege dir ein irreduzibels Polynom 8ten Grades  g = x^8 + 12*x^6 + 48*x^4 + 68*x^2 + 17 vor und die nullstellen, und behaupte die galoisgruppe hat Ordnug 24 wie kannst du das zeigen oder widerlegen?
Das ist jetzt aber ein gänzlich anderes Problem als bisher. Solange man konkrete Polynome hat, kann man z.B. ein CAS anwerfen und sich die Galoisgruppe ausrechnen lassen. Dafür gibt es Algorithmen.

mfg Gockel.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2013-11-17


Ja vielen Dank für die Berichtigungen. Ich sehe dass es 3 konjugierte Klassen einer <math>D_4 \subset S_4</math> gibt und die Konjugierten von <math>\{1),(12)\}</math> sind <math>(\{1),(13)\},\{1),(23)\},\{1),(14)\},\{1),(24)\} </math>bzw. <math>\{1),(34)\}</math> erzeugt von verschiedenen Elementen aus <math>S_4</math>.

(2013-11-07 17:24 - juergen007

So gibt es nun EIN "diskriminantes" Polynom <math>t_k \in Z[V]</math>, an dem ich genau erkennen kann , ok, wenn dieses <math>t_k \in V^{D_4}, t_x \notin  V^{S_4}</math>  liegt, und gegen alle anderen permutationen aus S_4 nicht fest bleibt, ist D_4 definitiv die Galoisgruppe von f(x)?


Das könnte sein. Folgende Idee:
Sei <math>H\leq S_n</math> eine Permutationsgruppe. Ein Polynom <math>F\in\mathbb{Q}[x_1,...,x_n]</math> heißt relative <math>H</math>-Invariante, wenn <math>F\in\mathbb{Q}[x_1,...,x_n]^H</math>, aber <math>F^g\neq F</math> für alle <math>g\in S_n\setminus H</math>. Man kann zeigen, dass so etwas immer existiert, z.B. ist
<math>F=\sum_{\sigma\in H} (\prod_{i=1}^{n-1} X_i^i)^\sigma</math>
ein Beispiel für solch ein Element (ja, das heißt wirklich n-1).

Wenn man jetzt ein Polynom <math>f\in\mathbb{Q}[T]</math> mit Nullstellen <math>\alpha_1, \ldots,\alpha_n\in\mathbb{C}</math> und Zerfällungskörper <math>L</math> hat, dann kann man den Auswertungshomomorphismus <math>\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]\mapsto L, x_i\mapsto\alpha_i</math> betrachten.
Wenn <math>G\leq S_n</math> nun die Permutationsgruppe ist, die via Permutation der Nullstellen der <math>Gal(L|\mathbb{Q})</math> entspricht, dann wird ein Polynom <math>p\in\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]</math>, welches <math>G</math>-invariant ist, auf eine rationale Zahl abgebildet (statt auf ein beliebiges Element von L).

mfg Gockel.

OK der Term <math>F=\sum_{\sigma\in H} (\prod_{i=1}^{n-1} X_i^i)^\sigma</math> ist hilfreich. Ich hoffe ich verstehe es jetzt richtig.
Seien <math>a,b,c,d</math> Nullstellen "unseres" irreduziblen Polynoms 4ten Grades und wir vermuten, dass <math>\sigma = D_4</math> ist.
So ergibt sich F = <math>ab^2c^3 + ba^2d^3 + cd^2a^3 + dc^2b^3  + da^2b^3  + bc^2d^3  + cb^2a^3  + ad^2c^3  </math>, wenn ich das F recht verstehe, was dann ein Element aus <math>Q[i,\alpha]</math> ist invariant gegen dass <math>\sigma = D_4</math>. Also F hat quasi den Orbit F aus einem Punkt, ich denke der ist rational.
Aber du meintest ja, F sei ein Polynom in den <math>X_i</math>, welche <math>X_i</math>. Was ist das fuer ein Polynomring <math>Q[X_i]</math>?
Deine Unterscheidung gross X zu Klein x ist mir nicht klar, was sollen das fuer (hier)4 verschiedene <math>X_i</math> seien?
Thx again


juergen



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2013-11-18


Große und kleine X sollten dasselbe sein, da habe ich nicht aufgepasst. Ansonsten habe ich aber geschrieben, was das bedeutet: Das sind Unbestimmte. Ein Polynomring ist ein Polynomring, was ist unklar daran?

mfg Gockel.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2013-11-18


<math>F(x_1,x_2,x_3,x_4) \in Q[x_1,x_2,x_3,x_4] </math>
=
<math>x_1x_2^2x_3^3 + x_2x_1^2x_4^3 + x_3x_4^2x_1^3 + x_4x_3^2x_2^3 + x_4x_1^2x_2^3 + x_2x_3^2x_4^3 + x_3x_2^2x_1^3 + x_1x_4^2x_3^3</math> hat unter anderem die Nullstellen <math>V = \{x_1 = \alpha,x_2 = i\alpha,x_3 = -\alpha,x_4 = -i\alpha,\}</math> wenn ich mich nicht verrechnet habe.
natuerlich auch <math>x_1 = 0 ,x_2, x_3, x_4 </math> beliebig und vieles mehr.
Was ist das T in <math>f\in\mathbb{Q}[T]</math>? T = {Nullstellen von f}? Ich verstehe die Notation nicht.
Ist der Kern des Auswertungshomomorphismus <math>\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]\mapsto L, x_i\mapsto\alpha_i</math> nicht sogar der Invarianzring <math>V^\sigma</math>?
Ich versuche eben, ein V zu finden das ein hinreichendes Kriterium fuer <math>Gal[L/Q] = Gal[V^\sigma]</math> zu finden, ich weiss nicht ob ich die Galoisgruppe eines Rings so definieren kann.
Anmerkung aus

de.wikipedia.org/wiki/Galoistheorie

"Galois selbst beschrieb eine Methode, mit der eine einzelne von den Nullstellen erfüllte Gleichung konstruiert werden kann (die sog. Galois-Resolvente), so dass die Galois-Gruppe aus den Symmetrien dieser einen Gleichung besteht."
Leider finde ich über diese Methode wenig Info, denn die suche ich

Zhx

jürgen




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2013-11-18


T ist ebenfalls eine Unbestimmte. Deshalb habe ich dazugeschrieben, dass f ein Polynom sein soll.

Der Kern eines Homomorphismus ist niemals ein echter Unterring. Kerne sind stattdessen Ideale und das einzige Ideal, das gleichzeitig ein Unterring ist, ist der gesamte Ring.

Die Gleichung mit der Galoisgruppe würde man so nicht aufschreiben. Der Begriff "Galoisgruppe" ist selbst in der Körpertheorie nur für Körpererweiterungen und nicht für einzelne Körper im Gebrauch (ansonsten würde man viel eher "Automorphismengruppe" sagen). Für Ringerweiterungen ist die Galoistheorie auch gleich um ein Vielfaches komplexer. Ich würde davon abraten, auf deinem jetzigen Wissensstand allzu tief einzudringen zu wollen ohne vorher sicher in den Grundlagen zu sein.
Außerdem sehe ich einfach keinen Grund, weshalb so eine Gleichung gelten sollte.


EDIT:
Siehe auch en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_(Galois_theory). Wenn ich das richtig verstehe, dann wird dort etwas ähnliches zu dem, was ich bereits in Post No.42 beschrieben hatte, benutzt. Der für uns interessante Teil ist wohl "Conversely, if <math>R_G^{(f)}(Y)</math> has a rational root, which is not a multiple root, the Galois group of f is contained in G."

mfg Gockel.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2013-11-25


Ok:)
dein link korrigiert ist en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_%28Galois_theory%29

Ich zitiere noch aus

de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Resolvente :

Daher hatte ich auch den Ausdruck <math>B[t]</math> im Sinn.

==Galois-Resolvente==
Galois betrachtete zu einer vorgegebenen algebraischen Gleichung <math>f(x)=0</math> vom Grad <math>n</math> die Symmetrien, die in Bezug auf die Wurzeln bestehen. Formal lassen sich diese Symmetrien mittels der Gesamtheit <math>B</math> der Polynome <math>h(X_1, ...,X_n)</math> charakterisieren, die bei Einsetzen der <math>n</math> Wurzeln der Gleichung <math>f(x)=0</math> identisch verschwinden: <math>h(x_1, ...,x_n) = 0</math>. Die Gruppe der Permutationen der <math>X_i</math>, welche die Menge <math>B</math> in sich überführt, ist dann die Galoisgruppe von <math>f</math>.

Um vereinfachend nur Polynome in "einer" Variable betrachten zu müssen, bildete Galois die heute nach ihm benannte Resolvente:

<math>t=m_1 x_1+....+m_n x_n</math>

Dabei sind, was immer möglich ist, die ganzen Zahlen <math>m_i</math> so zu wählen, dass sich die bei allen Permutationen <math>\sigma</math> der Wurzeln <math>x_i</math>  ergebenden Werte <math>t_\sigma</math> paarweise verschieden sind. Bewersdorff "Algebra für Einsteiger" , S. 126. Jede Wurzel <math>x_i</math> der Gleichung <math>f(x)=0</math> lässt sich dann nämlich als Polynom des Wertes <math>t</math> ausdrücken (in heutiger Terminologie als "Satz vom primitiven Element" bekannt), so dass die Menge <math>B</math> auf Basis einer Polynomgleichung für den Wert <math>t</math> charakterisiert werden kann.

Und aus einer Vorlesung ueber Emmy Noether:
www.youtube.com/watch?v=6a6A8acOwA8

Zum thema Invarianz Ring:
Let finite group G permute the Field <math>K = Q(x_e, x_g ,,,,,x_h) </math>generated by elements of G .
Noether showed <math>K^G</math> is finite group (f.g.) over Q, and if the generating set can be shrunk to the size of G then <math>K^G</math> is a polynomial ring over Q.
K is Galois over <math>K^G</math> .
By Hilbert irreducibility G is a Galois group over Q.

letzteren verstehe ich (noch) nicht ganz, aber ich arbeite dran ;)



Jürgen



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