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Universität/Hochschule Ganze Funktion
Kimmel
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  Themenstart: 2013-10-03

\ Man bestimme alle ganzen Funktionen f mit der Eigenschaft f(f(z)) = z und f(0) = 0 Als Lösungsweg wurde folgendes angegeben: Man setze f als Potenzreihe an und sieht sofort, dass der Koeffizient a_0 = 0, a_1 = +- 1 ist. Indem man eventuell f durch g(z) = - f(z) ersetzt, kann man a_1 = 1 annehmen. Man zeigt jetzt leicht durch Induktion nach n, dass alle a_n, n>= 1, verschwinden. Man erhält f(z) = +- z als einzige Lösungen. ---- \ Leider verstehe ich die Lösung nicht. Wenn ich f in eine Potenzreihe um 0 entwickle sehe ich, dass a_0 = 0, ok, aber ich weiß nicht wie daraus a_1 = +- 1 mit f(f(z)) = z folgt. Außerdem ist die Induktionsbehauptung nicht klar...


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egndgf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2013-10-03

Hallo, welche Eigenschaft? Meinst du $f(f(z))=z$? In diesem Fall setzt man einfach die Potenzreihen ineinander ein (oder leitet $f(f(z))=z$ ab und wertet dann diese Gleichung am Nullpunkt aus). MfG egndgf


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Kimmel
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-03

\quoteon(2013-10-03 17:19 - egndgf in Beitrag No. 1) [...](oder leitet $f(f(z))=z$ ab und wertet dann diese Gleichung am Nullpunkt aus). [...] \quoteoff Hallo egndgf, \ Sei f(z) = sum(a_k * z^k,k=1, \infty) die Potenzreihenentwicklung um 0. Dann ist f'(z) = sum(k*a_k*z^(k-1), k=1, \infty) . Wegen (f(f(z)))' = f'(f(z))*f'(z) = 1 ist f'(0)^2 = 1, also f'(0) = +- 1 = a_1 Richtig? Und wie geht der Induktionsbeweis?


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egndgf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2013-10-03

Hallo, sollte die Eigenschaft $f(f(z))=z$ sein, so musst du einfach nur die Potenzreihen ineinander einsetzen und dann induktiv beweisen, dass alle höheren Koeffizienten verschwinden. MfG egndgf


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Kimmel
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-03

\quoteon(2013-10-03 17:50 - egndgf in Beitrag No. 3) [...]die Potenzreihen ineinander einsetzen und dann induktiv beweisen, dass alle höheren Koeffizienten verschwinden. \quoteoff Wenn ich das gemacht habe, weiß ich nicht, worüber ich induzieren soll: \ f(f(z)) = sum( (a_k * (sum(a_l,l=1,m))^k),k=1,n) Hab ich das erstmal richtig ineinander gesetzt? Muss ich dann über n induzieren?


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Wauzi
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  Beitrag No.5, eingetragen 2013-10-03

Hallo, \ f(f(z)) = sum( (a_k * (sum(a_l*z^l,l=1,\inf ))^k),k=1,\inf ) Gruß Wauzi


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egndgf
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  Beitrag No.6, eingetragen 2013-10-03

Hallo, die Aussage A(n),n>1, lautet: Der Koeffizient von $z^n$ in der Potenzreihenentwicklung von f verschwindet. Das sollst du induktiv beweisen. Deine Formel ist natürlich auch falsch: Nicht jede ganze Funktion ist ein Polynom. Und ist die Aussage nun $f(f(z))=z$? MfG egndgf [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Kimmel
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-03

Hallo wauzi und egndgf, \ f(f(z)) = sum( (a_k * (sum(a_l*z^l,l=1,\inf ))^k),k=1,\inf ) Rechte Seite "zusammenfassen" (erlaubt?) zu sum(a_n * z^n,n=1,\infty) und dies muss gleich z sein. \quoteon(2013-10-03 18:41 - egndgf in Beitrag No. 6) Und ist die Aussage nun $f(f(z))=z$? \quoteoff Ja, hab das seit deinem zweiten Beitrag in meinem Startbeitrag geändert.


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egndgf
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  Beitrag No.8, eingetragen 2013-10-03

Hallo, warum sollst du das denn so zusammenfassen dürfen? Schon bei der Lösung -z ist es falsch. MfG egndgf


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Kimmel
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-03

\quoteon(2013-10-03 21:02 - egndgf in Beitrag No. 8) Hallo, warum sollst du das denn so zusammenfassen dürfen? Schon bei der Lösung -z ist es falsch. MfG egndgf \quoteoff Ich habe mir gedacht, dass, wenn ich alles ausmultiplizieren würde, ich alle Koeffizienten zusammenfassen kann, aber nach deinem Gegenbeispiel geht es wohl nicht. Dann bräuchte ich einen kleinen Tipp...


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egndgf
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  Beitrag No.10, eingetragen 2013-10-03

Hallo, doch, du kannst alles ausmultiplizieren und zusammenfassen (den letzten Schritt musst du dann noch begründen). Aber das hast du nicht getan. MfG egndgf


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Kimmel
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-04

\quoteon(2013-10-03 21:47 - egndgf in Beitrag No. 10) Hallo, doch, du kannst alles ausmultiplizieren und zusammenfassen (den letzten Schritt musst du dann noch begründen). Aber das hast du nicht getan. MfG egndgf \quoteoff Ich habe das mal versucht: \ Koeff. von z: a_1^2 Koeff. von z^2: a_1*a_2 + a_2*a_1^2 Koeff. von z^3: a_1*a_3 + a_2*(Mischterme) + a_3*a_1^3 usw. Da wir wissen, dass a_1 = 1 und f(f(z)) = z folgt: Koeff. von z^2: 2a_2 muss gleich 0 sein (Koeff.vergleich) Koeff. von z^3: Wegen a_2 = 0 => 2a_3 = 0 usw. ... Koeff. von z^n: 2a_n = 0 Das ist dann mit Induktion zu zeigen? Umordnen darf ich, weil die Potenzreihe im Innern des unendlichen Konvergenzradius absolut konvergiert.


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egndgf
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  Beitrag No.12, eingetragen 2013-10-04

Hallo, woher weißt du, dass a1=1? (Ich verstehe ehrlich gesagt das Argument aus deiner Musterlösung dazu nicht. Dieses dort definierte g erfüllt doch nicht unbedingt $g(g(z))=z$. $z\mapsto -f(-z)$ erfüllt sie, aber die Funktion hat dieselben ungeraden Potenzreihenkoeffizienten.) Das Umordnungsargument ist richtig. MfG egndgf


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Kimmel
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-04

\quoteon(2013-10-04 17:56 - egndgf in Beitrag No. 12) Hallo, woher weißt du, dass a1=1? \quoteoff Hallo, Oh, mist, ich habe das völlig vergessen. \quoteon(2013-10-04 17:56 - egndgf in Beitrag No. 12) Dieses dort definierte g erfüllt doch nicht unbedingt $g(g(z))=z$. \quoteoff \ Warum denn nicht? Wenn ich +-z einsetzte kommt doch z raus? Aber wenn ich $a_1 = -1$ annehme, dann klappt die Rechnung oben nicht mehr so... Und ein Argument dafür fällt mir nach längerem Überlegen auch nicht ein...


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egndgf
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  Beitrag No.14, eingetragen 2013-10-04

Hallo, wenn $g(z):=-f(z)$, so ist $g(g(z))=-f(-f(z))$. Ich sehe keinen Grund, warum das z oder -z sein sollte. Und wenn man $g(z):=f(-z)$ setzt, so ist $g(g(z))=f(-f(-z))$. Auch hier wüsste ich nicht, warum das gleich z oder -z sein sollte. MfG egndgf


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egndgf
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  Beitrag No.15, eingetragen 2013-10-04

Hallo, das Theorem stimmt übrigens dennoch, wie mir gerade aufgefallen ist: Jede biholomorphe Abbildung $\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ ist von der Form $z\mapsto az+b,a,b\in\mathbb{C},b\neq 0$ (kannst du das beweisen? Tipp: Jede derartige Abbildung lässt sich zu einem Homöomorphismus der Ein-Punkt-Kompaktifizierung $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ erweitern). Die Einschränkungen der Aufgabenstellung implizieren nun, dass $a=\pm 1,b=0$ ist (sollte man $f(0)=0$ streichen, erhält man noch die zusätzlichen Lösungen $z\mapsto -z+b$, wobei $b\in\mathbb{C}$ beliebig sein kann). MfG egndgf


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-04

\quoteon(2013-10-04 18:47 - egndgf in Beitrag No. 14) Hallo, wenn $g(z):=-f(z)$, so ist $g(g(z))=-f(-f(z))$. Ich sehe keinen Grund, warum das z oder -z sein sollte. Und wenn man $g(z):=f(-z)$ setzt, so ist $g(g(z))=f(-f(-z))$. Auch hier wüsste ich nicht, warum das gleich z oder -z sein sollte. MfG egndgf \quoteoff Hallo egndgf, ok, jetzt habe ich dein Argument verstanden. \quoteon(2013-10-04 18:47 - egndgf in Beitrag No. 14) das Theorem stimmt übrigens dennoch, wie mir gerade aufgefallen ist: Jede biholomorphe Abbildung $\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ ist von der Form $z\mapsto az+b,a,b\in\mathbb{C},b\neq 0$ (kannst du das beweisen? Tipp: Jede derartige Abbildung lässt sich zu einem Homöomorphismus der Ein-Punkt-Kompaktifizierung $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ erweitern). \quoteoff Das hatten wir bereits bewiesen. Wenn ich mich recht erinnere ging das über den Casorati-Weierstraß. \ Warum ist die Abbildung biholomorph? Liegt es daran, dass f(f(z)) = z (für Bijektivität) und wegen f(z) = f^(-1)(z) (für Umkehrabb. holomorph) gilt? \quoteon(2013-10-04 18:47 - egndgf in Beitrag No. 14) Die Einschränkungen der Aufgabenstellung implizieren nun, dass $a=\pm 1,b=0$ ist (sollte man $f(0)=0$ streichen, erhält man noch die zusätzlichen Lösungen $z\mapsto -z+b$, wobei $b\in\mathbb{C}$ beliebig sein kann). \quoteoff Ich bin beeindruckt...


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  Beitrag No.17, eingetragen 2013-10-04

Hallo, der Ersteller der Musterlösung scheint nicht mitbekommen zu haben, dass ihr das bereits bewiesen habt. Ja, die Biholomorphie sieht man mit den genannten Punkten ein. Sollte dir hierbei etwas unklar sein, musst du diese Unklarheit beseitigen. MfG egndgf


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\quoteon(2013-10-04 20:30 - egndgf in Beitrag No. 17) Hallo, der Ersteller der Musterlösung scheint nicht mitbekommen zu haben, dass ihr das bereits bewiesen habt. \quoteoff Hallo egndgf, die Aufgabe und ebenso die Musterlösung stammt aus einem Buch (Funktionentheorie 1 von Freitag/Busam). \quoteon(2013-10-04 20:30 - egndgf in Beitrag No. 17) Ja, die Biholomorphie sieht man mit den genannten Punkten ein. Sollte dir hierbei etwas unklar sein, musst du diese Unklarheit beseitigen. MfG egndgf \quoteoff Vielen Dank für deine Hilfe! Du hast mir damit sehr geholfen.


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egndgf
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  Beitrag No.19, eingetragen 2013-10-04

Hallo, welche Auflage verwendest du? Bei mir (3. Auflage) ist das Aufgabe Nr. 6 aus dem Anhang zu III.4 und III.5 und die Lösung benutzt überhaupt keine Potenzreihen. MfG egndgf


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\quoteon(2013-10-04 20:53 - egndgf in Beitrag No. 19) Hallo, welche Auflage verwendest du? Bei mir (3. Auflage) ist das Aufgabe Nr. 6 aus dem Anhang zu III.4 und III.5 und die Lösung benutzt überhaupt keine Potenzreihen. MfG egndgf \quoteoff Hallo, die Aufgabe existiert bei mir auch (4.Auflage). Die obige Aufgabe ist Aufgabe 17 aus III.2 (Übungsaufgaben zu III.2) (S.119 für den Fall, dass die Seitenzahl nicht wesentlich verändert wurde). Ich hätte weiterblättern sollen...


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egndgf
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  Beitrag No.21, eingetragen 2013-10-04

Hallo, ok, das ist ein Fehler. Wir sollten die Autoren darüber in Kenntnis setzen, wenn sie es nicht ohnehin schon wissen. MfG egndgf


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Kimmel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kimmel hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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