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Funktionentheorie » Holomorphie » Ganze Funktionen finden
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Universität/Hochschule J Ganze Funktionen finden
sChUhBiDu
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.12.2013
Mitteilungen: 8
  Themenstart: 2013-12-17

Hallo zusammen :) Gesucht: Alle ganzen Funktionen $$f,g$$ mit der Eigenschaft $f^2 + g^2 \equiv 1$. Funktionen sind ganz, wenn sie auf C holomorph sind, wie beispielsweise Polynome, e-Funktion, Summen, Produkte und Verknüpfungen solcher. So weit so gut. Mir kommt jetzt durch scharfes hinsehen die Lösung f=sin und g=cos in den Sinn, aber das sind ja sicherlich nicht alle ganzen Funktionen. Jemand einen Hinweis wie man da ran gehen kann? Singularitäten hatten wir noch nicht.


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46549
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2013-12-17

Hi sChUhBiDu, die allgemeinste Lösung der Gleichung lautet f(z) = cos(h(z)), g(z) = sin(h(z)), wobei h eine ganze Funktion ist. Zum Beweis schreibt man die Gleichung in der Form (f + ig)·(f - ig) = 1, und schließt daraus, dass man für den Logarithmus ln(f + ig) einen holomorphen Zweig wählen kann. Wenn man diesen mit i·h bezeichnet, folgt die angegebene Darstellung für f und g. Stichworte: Analytische Fortsetzung, Monodromiesatz. Gruß Buri


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sChUhBiDu
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.12.2013
Mitteilungen: 8
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-18

Ich danke recht herzlichst! Das hat mir sehr geholfen :)


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