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Analysis » Funktionentheorie » Residuum
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Universität/Hochschule Residuum
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-01-01


Was ist das Residuum von
fed-Code einblenden
an der Stelle z=1
Hat diese Funktion überhaupt eins?
Bin gerade ein wenig verwirrt. Hat
fed-Code einblenden
keine Laurent/Potenzreihendarstellung um z=1 ??



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-01-01


2014-01-01 17:00 - digerdiga im Themenstart schreibt:
1. Hat diese Funktion überhaupt eins?
2. Hat ... keine Laurent/Potenzreihendarstellung um z=1 ?
Hi digerdiga,
1. Nein.
2. Nein.
z = 1 ist keine isolierte Singularität, sondern ein Verzweigungspunkt.
Dasselbe gilt natürlich für z = -1.
Gruß Buri



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-01


Und wie handhabt man so etwas beim Residuensatz?
Angenommen ich habe das Integral
fed-Code einblenden



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-01-01


2014-01-01 17:12 - digerdiga in Beitrag No. 2 schreibt:
... muss f(z) holomorph nur bis auf endliche viele isolierte Punkte sein, was ja eigentlich erfüllt ist.
Hi digerdiga,
es ist nicht erfüllt.
Wenn G irgendein Gebiet ist, das die 1 als inneren Punkt enthält, dann gibt es auf G keine holomorphe Funktion u mit u(z)2 = z2-1.

Man kann nicht fed-Code einblenden ohne weitere Überlegungen hinschreiben.
Gruß Buri



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-01


fed-Code einblenden



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2014-01-01


2014-01-01 17:34 - digerdiga in Beitrag No. 4 schreibt:
... Den Verzweigungsast, kann ich mir beliebig auf die positive oder negative Achse legen?
Hi digerdiga,
ja. Den oder die Verzweigungsschnitte muss man so wählen, dass in dem verbleibenden Gebiet die betrachtete Funktion eindeutig analytisch fortsetzbar ist. Man kann aber auch ein Überlagerungsgebiet, also eine Riemannsche Fläche, betrachten, und die Integration auf dieser durchführen. Zu diesem Zweck sind solche Flächen vor allem da.

Bei einer irgendwie mit Wurzeln gestellten Integrations- oder Residuen-Bstimmungs-Aufgabe müssen natürlich diese Verzweigungsschnitte und der Hauptzweig der betrachteten Funktion vorgegeben sein, denn das Ergebnis könnte von dieser Vorgabe abhängen.

In jedem Fall bleibt die Antwort aus Beitrag #1 bestehen, weil für diese Funktion, selbst wenn sie, wie auch immer, sorgfältiger definiert wird, die 1 niemals ein innerer Punkt des Holomorphiegebietes sein kann.
Gruß Buri



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-02


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