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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » spezielle Lösungen von inhomogenen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
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Universität/Hochschule J spezielle Lösungen von inhomogenen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Ventura
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  Themenstart: 2014-01-04

Hallo Ich habe kurz eine Frage im Hinblick auf eine Prüfung welche ich in 10 Tagen haben werde. Angenommen ich habe eine Differentialgleichung ich notiere mal 2, dessen Lösungen ich kenne und ausgerechnet habe: y''+y= 1/sin(x) und y''(t)+w^2*y(t)=E*sin(w*t) Wie errechne ich dann am klügsten die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung? Ich habe im ersten Fall Variation der Konstanten gemacht und im zweiten Fall einfach den Ansatz y_s= A*t*sin(w*t)+B*t*cos(w*t) verwendet. und bin auf das richtige gekommen. Wenn ich nun aber versuche im zweiten Beispiel Variation der Konstanten zu machen (also y_s= A(t)*sin(wt)+B(t)*cos(wt) komme ich irgendwie nicht weiter, genauso wenn ich beim ersten versuche einen Ansatz mit y_s= A*x*sin(x)+B*x*cos(x) Kann mir jemand erklären wieso eine Vertauschung der Lösungsansätze nicht funktioniert? Grüsse Ventura


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2014-01-04

Hallo Bei der ersten Gleichung funktioniert der Ansatz nicht, weil das keine Siunusfunktiion im Sinne von A*sin(x) ist. mfgMrBean


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Ventura
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-04

Aha ok das macht Sinn... Aber wieso, funktioniert, das zweite Beispiel mit Variation der Konstanten nicht? Variation der Konstanten ist ja ein allgemeingültiges Verfahren zur ermittlung der speziellen Lösung einer Inhomogenen Gleichung oder? Gibt es irgend ein Merkmal, bei dem ich sagen kann: Ok hier benötige ich Variation der Konstanten?


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-01-04

Hallo, Ventura, beim zweiten Beispiel musst du dich verrechnet haben - Variation der Konstanten geht immer. wally


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Ex_Senior
  Beitrag No.4, eingetragen 2014-01-04

Hallo Ich glaube, dass klappt nicht wegen den Parametern. mfgMrBean [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Ventura
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-04

Hallo Ich habe nochmal Variation der Konstanten beim zweiten Problem probiert: y''(t)+w^2*y(t)=E*sin(w*t) y_h= C_1 sin(wt) +C_2 cos(wt) y_s= A(t)*sin(wt)+B(t)*cos(wt) y_s '= A'(t)*sin(wt)+B'(t)*cos(wt)+A(t) w cos(wt)-B(t) w sin(wt) setze A'(t)*sin(wt)+B'(t)*cos(wt) = 0 (Nebenbedingung) und errechne y_s ''= A'(t) w cos(wt)-B'(t) w sin(wt)- A(t) w^2 sin(wt)-B(t) w^2 cos(wt) setze in die Ursprungsgleichung ein: A'(t) w cos(wt)-B'(t) w sin(wt)-A(t) w^2 sin(wt)-B(t) w^2 cos(wt)+ A(t) w^2 sin(wt)+B(t) w^2 cos(wt)= E*sin(wt) (kürzen) Stelle Hauptbedingung auf: =>A'(t) w cos(wt)-B'(t) w sin(wt)= E sin(wt) Nebenbedingung: =>A'(t)*sin(wt)+B'(t)*cos(wt) = 0 Löse Nebenbedingung nach A'(t) auf => A'(t)= -B'(t)*cos(wt)/sin(wt) setze in Hauptbedingung ein: =>-B'(t)*cos(wt)/sin(wt)*w cos(wt)-B'(t) w sin(wt)= E sin(wt) => B'(t)*w (cos^2(wt)/sin(wt)+sin(wt))= -E*sin(wt) => B'(t)*w (1/sin(wt))= -E*sin(wt) => B'(t) = -E/w*sin^2(wt) d.H für B erhält man irgend einen komischen Term, welcher zu 100% nicht stimmt. Ich habe lange daran rumstudiert und herausgefunden, dass für B'(t) = -E/(2w) gelten muss, denn dann erhält man integriert das richtige. Ich gebe mal die Lösung an: y= C_1*cos(wt)+C_2*sin(wt)-(E*t)/(2w)*cos(wt) Kann mir jemand erläutern, wo bei mir der Fehler sitzt? Würde mich sehr freuen, wenn ich diese Aufgabe heute noch lösen (aber vor allem verstehen) könnte, damit ich mich noch auf die Eigenvektoren stürzen kann...wie bereits gesagt habe in 10 Tagen Prüfung und bin ein bisschen unter Zeitdruck... Grüsse Ventura P.S Vielen Dank für alle bisherigen Antworten :)


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Wally
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  Beitrag No.6, eingetragen 2014-01-04

Hallo, Ventura, alles ist richtig. Ich paste mal rein, was ich mit Maple nachgerechnet habe: \sourceon Maple > B := int(-E*sin(w*t)^2/w, t); %; B := -E*(-(1/2)*cos(w*t)*sin(w*t)+(1/2)*w*t)/w^2 > A := int(E*cos(w*t)*sin(w*t)/w, t); %; A := (1/2)*E*sin(w*t)^2/w^2 > y[p] := A*sin(w*t)+B*cos(w*t); %; y[p] := (1/2)*E*sin(w*t)^3/w^2-E*(-(1/2)*cos(w*t)*sin(w*t)+(1/2)*w*t)*cos(w*t)/w^2 > simplify(%); %; -(1/2)*E*(-sin(w*t)+cos(w*t)*w*t)/w^2 \sourceoff Was ist an deinen Überlegungen falsch? Bei "der" partikulären Lösung denken wir automatisch an die einfachste. Es gibt aber unendlich viele partikuläre Lösungen! Und hier bekommst du einen Term $\frac{E}{2\omega} \sin \omega t $ dazu. OK? Wally


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Ventura
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-04

Ok vielen Dank für die Antwort...versuche das mal kurz nachzurechnen und nachzuvoll ziehen :) Gibt es irgend eine Faustregel oder einen Intelligenten Ansatz um schnell entscheiden zu können, ob man die Partikuläre Lösung am besten mit Variation der Konstanten bestimmt oder durch einen Ansatz? (Ich persönlich glaube, dass der Versuch einen passenden Ansatz zu wählen am schnellsten und effektivisten ist, aber wenn man ein Blackout hat muss man wohl auf die Variation der Konstanten zurückgreifen...)


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Ventura
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-04

Hallo Habe die ganze Sache mal stur ausgerechnet und herausgefunden, dass sich die beiden "unschönen" Terme welche sich ergeben genau herauskürzen, d.H man erhält am Schluss genau wieder die y_s ''= -(E*t)/(2w)*cos(wt) welche ich erhalten wollte :)


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2014-01-04

Hallo, bei Dgl. mit konstanten Koeffizienten und rechten Seiten, die Summen von Produkten von Polynomen und Exponential/Trigonometrischen Funktionen sind, nimmt man Ansätze. Sonst bleibt immer der Weg über die Varation der Konstanten. Wally


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Ventura
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-04

Hallo Danke für die Antwort, ich hätte aber dennoch, 2 kurze Fragen.. 1. Musste dass sein, dass sie der "unschöne" Term wegkürzt und das richtige übrigbleibt? 2. Ich verstehe leider immer noch nicht wie das wann eine Variation der Konstanten nötig ist um die spezielle Lösung zu ermitteln... (ich meine 1/Sin(x) ist ja auch eine trigonometrische Funktion, der Punkt ist, dass sie linear unabhängig ist von sin(x) und cos(x) oder?) Grüsse Ventura


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Wally
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  Beitrag No.11, eingetragen 2014-01-04

Hallo, 1) nein. Das ist auch ganz klar, wenn du bei der Bestimmung von $A(t)$ und $B(t)$ andere Stammfunktionen nimmst, bekommst du eine andere partikuläre Lösung. 2) $\sin \omega t$ ist eine Summe (komplexer) Exponentialfunktionen, $\frac{1}{\sin \omega t}$ nicht. Eigentlich gehen Ansätze nur bei $f(t)=\sum_k P_k(t) \exp(\alpha_k t)$. Wally


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Ex_Senior
  Beitrag No.12, eingetragen 2014-01-04

Hallo Ventura, und ein gutes Neues Jahr 2014 Du hast recht, die Funktion 1/sin(x) lässt sich nicht als Linearkombination von sin(x)- und cos(x)-Termen darstellen und genau deshalb wird 1/sin(x) auch nicht zu den Trigo. Funktionen gezählt. Nur die von Wally schon alle genannten Typen von Funktionen als Inhomogenität der Dgl. und Linarkombinationen daraus wird beim Lösen mit unbest. Ansatz desselben Typs solcher Funktionen eine partikuläre Lsg. gesucht. Bei allen anderen Typen von Funktionen der Inhom. (man nennt es auch Störfunktion) hilft ein Potenzreihenansatz eventuell mit gebrochen-rationalen Exponenten. Denn die Lösungsfunktion muss keinesfalls in geschlossener Form darstellbar sein. Anders ausgedrückt, muss keinesfalls darstellbar sein als ein Konglomerat von Elementarfunktionen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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