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Analysis » Funktionentheorie » erfüllt f*(z*)( jeweils komplex konjugiert) CR-DGLen
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Universität/Hochschule erfüllt f*(z*)( jeweils komplex konjugiert) CR-DGLen
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-01-11


Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
Sei <math>f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} </math> eine Funktion, die überall den Cauchy-Riemannschen DGLen genügt.

Zeige oder Widerlege:

f*(z*) erfüllt auf ganz <math>\mathbb{C}</math> die CR-DGLen?


Ich bin der Meinung, dass die Funktion auf ganz <math> \mathbb{C}</math> die CR-DGLen erfüllt. Ich habe nämlich einige Beispiele durchprobiert und es hat immer geklappt. Die Sache ist nur, dass ich es nicht beweisen kann.

Ich habe den Ansatz probiert, dass sich die komplexe Funktion f schreiben lässt als:

<math>f(x)=u(x,y)+i \cdot v(x,y) </math>

Allerdings kann ich keinen allgemein gültigen Ausdruck für f*(z*) finden, da es von der Funktion abhängt, was mit den Vorzeichen von v und u passiert.

Kann man das ganze auch mit einer "Fallunterscheidung" machen? Ich würde dann nämlich folgende drei Fälle vorschlagen:

Sei z:=x+iy, dann kann die Funktion f folgendes mit z anstellen:
1.) sie kann real- und imaginärteil vertauschen. Also z.b. f(z)=i*z
2.) sie kann real und imagnärteil so lassen, wie sie gerade sind, also zum Beispiel f(z)=z
3.) sie kann real und Imaginärteil vermischen, also z.B. :
f(z)= i*(x+iy)+x+y


Kann das so funktionieren?

Viele Grüße und schon mal danke schön im Voraus,

sv73





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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-01-11


Hallo sv73,
wenn <math>z=x+\mathbf{i}\cdot y</math> mit <math>x,y\in\IR</math>, wie sieht dann die konjugiert komplexe Zahl <math>z^*</math> aus? Dasselbe kannst Du mit dem Bild <math>f=u+\mathbf{i}\cdot v</math> machen. Wie sehen die Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> in deinen drei Beispielen aus?

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland



[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Funktionentheorie' von rlk]



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-11


Hallo rlk,

danke für deine Antwort. Die Fragen hatte ich mir auch schon alle gestellt. Aber weiter gebracht hat es mich trotzdem nicht. Hier mal meine Antworten:

<math>z^*=x-iy, \quad f^*=u-iv</math>

In den drei Beispielen schauen u und v folgendermaßen aus:

1.) <math>f^*(z^*)=y-ix=f(z) \cdot (-1)</math> und u=y, v=x
2.)<math>f^*(z^*)=x+iy</math> und u=x, v=y
3.)<math>f^*(z^*)=x+y+i(y-x)</math> und somit u=x+y und v= y-x


Das hilft mir aber trotzdem nicht weiter, wenn ich ehrlich bin. Denn einen allgemeinen Ausdruck für $<math>f^*(z^*)=u+ i \cdot v</math> finde ich damit trotzdem nicht.

PS: Ich habe die CR-DGLen auch in den drei genannten Fällen schon überprüft und sie haben die CR-DGLen alle erfüllt.

Gruß sv73



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-01-11


Hallo sv73,
deine ersten beiden Formeln in Beitrag 2 geben allgemein gültige Ausdrücke für <math>z^*</math> und <math>f^*</math> an, Du musst sie nur kombinieren, um den gesuchten Ausdruck für <math>f^*(z^*)</math> zu erhalten.

Mit <math>u</math> und <math>v</math> meinte ich Real- und Imaginärteil von <math>f</math>, Du hast in den Beispielen 1 und 2 die von <math>f^*(z^*)</math> so genannt, was Verwirrung stiftet. Ich wollte mit dieser Übung zeigen, dass die Fallunterscheidung nicht notwendig ist.

Die dritte Funktion <math>x+\mathbf{i}\cdot y \mapsto x+\mathbf{i}\cdot  x</math> erfüllt die Differentialgleichungen von Cauchy und Riemann nicht. Meinst Du vielleicht eine andere Funktion?

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2014-01-11


2014-01-11 13:18 - sv73 im Themenstart schreibt:
1. ... kann ich keinen allgemein gültigen Ausdruck für f*(z*) finden ...
2. Kann man das ganze auch mit einer "Fallunterscheidung" machen?
Hi sv73,
1. Mit den Standard-Bezeichnungen z = x + iy und f = u(x,y) + iv(x,y) ist
f*(z*) = u(x,-y) - iv(x,-y)
ein durchaus allgemein gültiger Ausdruck.

Der Stern zum komplexen Konjugieren ist eigentlich ein völlig veraltetes Symbol, es mag in der Elektrotechnik noch heute gebräuchlich sein, und vielleicht wurde es vor ca. 100 Jahren noch von ernstzunehmenden Mathematikern benutzt.
Heute nimmt man den Querstrich dafür, das heißt, man schreibt das Ganze als
fed-Code einblenden
und man soll beweisen, dass die so gebildete Funktion die Cauchy-Riemann-DGLen erfüllt.
Diese Funktion wird übrigens nach heutiger Bezeichnungsweise mit
fed-Code einblenden
was bei "deiner" (nicht mitgeteilten) Definition von f* nicht der Fall ist, denn mit deiner Definition soll f* anscheinend einfach nur komplex konjugieren, und dabei das Funktionsargument z unverändert lassen.

2. Nein.
Das, was du vorhast, deckt natürlich nicht alle Fälle ab, und diese Aufgabe erfordert nicht im Entferntesten irgendeine Fallunterscheidung.
Gruß Buri



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