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Universität/Hochschule J DGL und spezielle Funktionen - übergeordnete Zusammenhänge?
gonz
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  Themenstart: 2014-01-11

Hallo zusammen :) Ich arbeite mich gerade durch einen Kurs zum Thema Differentialgleichungen, und bin dabei, mich beim Thema "spezielle Funktionen" in die Einzelheiten zu verlieren. Kurzum, mir fehlt ein übergeordneter Aspekt, nachdem sich die Dinge ordnen ließen. Insbesondere geht es um Besselfunktionen, Tschebyschew-Polynome und Legendre'sche Polynome. Alle diese haben ja "schöne Eigenschaften" (so heisst es im Script und die Formulierung gefällt mir), sie sind jeweils Lösungen einer spezifischen Differentialgleichung, sie erfüllen eine Orthogonalitätsbedingung mit der "passend" Gewichtsfunktion, sie haben ihre Rekursionsformeln nach denen sie sich auseinander herleiten lassen für aufsteigendes n etc. Das alles kann ich auch im einzelnen nachvollziehen, mir ist auch klar wofür man sie dann beim Thema DGL benutzt und ein klein wenig habe ich mir auch angeeignet wofür sie sonst noch gut sind (Tschebyschew zB bei der Interpolation durch Polynome etc). Aber irgendwie fehlt mir der übergeordnete Zusammenhang. Könnt ihr mir irgendwelche Stichworte geben, wonach ich suchen könnte, irgendwelche Hinweise auf Theorien, die das zusammenhalten, oder evtl auch Hinweise auf Literatur? Irgendwie habe ich das Gefühl, das da noch etwas ist, und weiss aber nicht wo und wonach ich da genauer suchen sollte. Vielen Dank und Grüsse in die Runde gonz


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davidhigh
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-01-11

Hallo, die Theorie der orthogonalen Polynome kennst du wahrscheinlich schon. Falls nicht, ist jetzt Zeit, die zu erarbeiten. Wenn du ansonsten nach einem gemeinsamen Faktor suchts, fallen mir fieserweise nur die hypergeometrischen Funktionen ein, mit denen man gefühlt alles darstellen kann. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass dadurch dein Überblick besser wird. Im Gegenteil, ich denke eher, da gehört halt einiges an Erfahrung dazu (die ich mir auch nicht zugestehen will). Und du hast doch schon drei wichtige Funktionen genannt. Ganz grob, bei Besselfunktionen denke ich immer an sowas wie Zylindergeometrien (z.B. Schwingungen einer Trommel). Bei Legendre-Polynomen dagegen an Kugelkoordinaten. Bei Legendre- und bei Chebyshev-Polynomen denke ich zudem an die Gauss-Integration, und daran anschließend an Spektralmethoden, die man oft zur numerischen Lösung von DGLs verwendet (dabei werden die gesuchten Funktionen auf den Stützstellen der Gauss-Integration dargestellt). Ansonsten poppen zu den Begriffen noch ein paar Formeln und Beziehungen auf, die ich eben über die Jahre angewandt habe (bin theoretischer Physiker). Z.B. kommen Legendre-Polynome direkt in den Kugelflächenfunktionen vor oder in der Laplace Entwicklung des Coulomb-Terms. Besselfunktionen trifft man bei der Entwicklung ebener Wellen in Kugelkoordinaten und damit auch bei der Fouriertransformationen. Chebyshev-Polynome kommen in der phys. Theorie seltener vor, dafür aber in der Anwendung (z.B. Chebyshev-Entwicklung, Clenshaw-Curtis-Quadratur, Chebyshev-Propagator, usw.). Zur Literatur: Ich würde z.B. den Arfken und Weber, "Mathematical methods for physicists" (oder so) empfehlen. Oder auch Numerical Recipes, da bekommst du die Anwendungen gleich mit. Ein Buch, das in dem Zusammenhang immer zitiert wird ist übrigens Abramowitz/Stegun, das aber eine reine Zusammenstellung darstellt. Und es gibt die "functions.wolfram.com" Seite, auf der du richtig viel findest. Viele Grüße, David


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rlk
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  Beitrag No.2, eingetragen 2014-01-12

Hallo gonz, eine übergeordnete Theorie ist die der Sturm-Liouville Randwertaufgaben, die zum Beispiel in dem von David erwähnten Buch von Arfken und [1,2] behandelt wird. Das Buch [3] von Courant und Hilbert kenne ich nicht, es beschäftigt sich aber ebenfalls mit diesem Themenkreis. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland [1] Einführung in die mathematischen Methoden der Theoretischen Physik von Hans Jörg Dirschmid, Wolfgang Kummer und Manfred Schweda. [2] Mathematics for the Physical Sciences von Herbert Wilf. [3] Methoden der mathematischen Physik von Richard Courant und David Hilbert.


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gonz
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-12

Guten Morgen wunderbar - das hilft mir weiter bzw. gibt Stoff für die nächsten Wochen und Monate :) Grüsse & und vielen Dank sagt gonz


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gonz
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So, indem ich hier abhake :) noch eine kurze Rückmeldung. Ich habe mich ja in der Bibliothek nochmal umgesehen & mit read-warez eingedeckt und siehe da: Wenn man vom Regal, in dem sich die Rubrik Mathematik->Differentialgleichungen befindet, zwei Regale weitergeht, dann kommt dort die Rubrik "Mathematik für Naturwissenschaften", und dort findet sich ein guter Teil der von euch erwähnten Bücher. Dass der Hilbert aus dem "Courant und Hilbert" _der_ Hilbert ist, war dann die andere Überraschung. Sozusagen - der Kreis hat sich geschlossen. Ich hätte natürlich auch schon vorher aus dem Studium von Literaturverzeichnissen zB in meinem Script weiterkommen können, aber das ist ein anderes Thema... Ich habe festgestellt, dass es zum Thema "orthogonale Funktionen" auch noch einiges zu tun gibt, und in der Literatur jetzt auch einige Beispiele aus der QM gefunden, die mich veranlasst haben, mich auch wieder mit Dingen wie der Schrödingergleichung und überhaupt erstmal Hamilton'scher Mechanik zu befassen. Also : die Vielfalt statt der erhofften Einheit - that's life. Grüsse vielen Dank nochmal für die Anregungen und einen schönen Sonntagabend gonz


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