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Mathematik » Numerik & Optimierung » Raketenwagen
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Universität/Hochschule Raketenwagen
inchik99
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Dabei seit: 17.01.2014
Mitteilungen: 7
  Themenstart: 2014-01-17

Hallo alle zusammen, ich versuche gerade das Optimalsteuerungsproblem zu verstehen. Es geht um Optimalsteuerung eines Raketenwagens. Hier ist das Probelem: $ \min\limits_{u} & \int_0^{10} u(t)^2dt \\ \dot{s}(t)&=v(t)\\ \dot{v}(t)&=\frac{c_1}{m}\cdot u(t)-c_2v^2\\ \dot{m}&=-c_3u^2\\ s(0)&=0, \quad v(0)=0\quad m(0)=1\\ s(10)&=10, \quad v(10)=0\\ -10&\leq u(t)\leq 10 \\ $ Ich kann nicht die Diff.gleichung $\dot{m}&=-c_3u^2$ verstehen. Wieso braucht man für die Masse $m$ Beschleunigung $u$? Kann mir vielleicht jemand erklären.


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DrStupid
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-01-17

\quoteon(2014-01-17 18:15 - inchik99 im Themenstart) Wieso braucht man für die Masse $m$ Beschleunigung $u$? \quoteoff Die Beschleunigung ist nicht u sondern $\dot{v}$. Worum es sich bei u handelt, geht aus den Gleichungen nicht hervor. Anscheinend ist es sowohl proportional zur Schubkraft als auch zur Wurzel des Massestroms. Das ist merkwürdig, weil die Schubkraft und der Massestrom bei gleicher Ausstoßgeschwindigkeit ebenfalls proportional sind. Ein paar zusätzliche Informationen wären hilfreich.


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Kitaktus
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  Beitrag No.2, eingetragen 2014-01-17

Hallo und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten! u ist üblicherweise die Steuergröße, hier wohl die Leistung oder ähnliches. Bei einem Raketenwagen wird die Leitung durch Verbrennung von Treibstoff erzeugt. Dabei nimmt die Masse des Raketenwagens ab. Ich denke, das steckt in der angegebenen Gleichung. Kitaktus


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gonz
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-01-17

Folgepost gefällt mir inzwischen besser...


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gonz
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  Beitrag No.4, eingetragen 2014-01-18

Des Rätselratens zweiter Theil oder schlaflos in Wildemann... Da das u^2 auch in dem zu minimierenden Integral auftaucht, ist das andererseits konsistent, optimiert werden soll damit die eingesetzte Treibstoffmenge, die Integrationsgrenzen 1..10 sind dann die Brenndauer und der Integrand proportional zum Massendurchsatz. Also versuchen wir anders herum die Formel für m zu verstehen... Für das Raketentriebwerk gilt ja genauer \ v^* = \Delta_v/m * m^* wobei \Delta_v die relative Geschwindigkeit ist, mit der der verbrannte Brennstoff das Triebwerk verläßt. Um also zu dem zu kommen was da angeschrieben wurde müsste man annehmen, dass die Austrittsgeschwindigkeit nicht konstant ist (wie man es normalerweise bei der Raketengleichung annimmt), sondern dass \Delta_v m^* = c_1 u (damit es zur Raketengleichung passt) und wegen m^* = c_3 u^2 damit dann \Delta_v c_3 u^2 = c_1 u und somit \Delta_v = c_1/c_3 1/u Dh die Austrittsgeschwindigkeit wird umso geringer, je höher wir das Triebwerk aufdrehen (?!?) Aber damit ist endgültig alles Spekulation... (mit einem tiefen Seufzer gesagt) Damit wäre jedenfalls die Ausgangsfrage "Wieso braucht man für die Masse m Beschleunigung u? " so zu beantworten: \ u ist nicht die Beschleunigung, sondern die Regelgrösse für dein Triebwerk. Das heisst u - genauer u^2 - bestimmt, wieviel Treibstoff pro Zeit verbrannt wird - das ist die nachgefragte Gleichung für m^*, und der Grund, weshalb es in dem zu minimierenden Integral in der angegebenen Form vorkommt. Minimiert wird nämlich so die verbrauchte Treibstoffmenge. Die Regelung des Triebwerks bestimmt den Masseausstoss, und dieser wiederum die Beschleunigung, das ist der Grund für eine Abhängigkeit von v^* wiederum von u. Die genauere Form der Abhängigkeit, dh der erste Summand in der Darstellung von v^*, beschreibt das Triebwerk, der zweite Summand wahrscheinlich die (Luft-) Reibung, die das Fahrzeug in Abhängigkeit von der aktuellen Geschwindigkeit abbremst. Dass in der Formel für v^* wiederum u (und nicht u^2, dh der Massestrom direkt) vorkommt, muss "irgendwie" daran liegen, dass das betrachtete Triebwerk nicht "ideal" ist, dh keine konstante Ausströmgeschwindigkeit hat. Mit dieser Interpretation hätte man die Gleichungen "verstanden" oder irgendwie akzeptiert und könnte sich ans Ausrechnen der Aufgabenstellung machen... Grüsse und einen schönen Weg ins Wochenende wünscht gonz


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inchik99
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-24

Wow! Vielen lieben Dank an Euch alle! :-) Das hat mich sehr weit bei dem Verständnis des Problems gebracht! Jetzt bleibt nur noch das Problem zu lösen ;-)


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gonz
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  Beitrag No.6, eingetragen 2014-01-24

Dann mal los :) Wenn du da irgendwo hängen bleibst kannst du ja gerne posten, wie weit du gekommen bist und was du gemacht hast. Ich hab noch eine Frage dazu - im Integral steht als obere Grenze 10, in den Randbedingungen wird auf den Punkt t=1 abgezielt, eins von beiden wird ein Fehler sein? Ich nehm mal an dass die Integralgrenzen genau zu den Randbedingungen passen sollten... Grüsse und viel Erfolg wünscht gonz


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inchik99
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-24

Stimmt, du hast recht! :-D Das ist ein Fehler, ich habe die Zeit von 1 auf 10 erhöht, hab aber vergessen bei den Randwerten das zu ändern. :-) Das muss dann s(10)=10, v(10)=0 und 0<= u <=10 heißen.


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inchik99
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-27

So, jetzt möchte ich das obere OSP ohne Steuerbeschränkung $0\leq u\leq 10$ lösen. Dafür definiere ich die Hamilton-Funktion: $H(t,x,\lambda,u)=u^2+\lambda_1v(t)+\lambda_2\left(\frac{c_1}{m}\cdot u(t)-c_2v^2\right)-\lambda_3c_3u^2$ mit $x=(s,v,m)^T$ $H_u=2u+\lambda_2\frac{c_1}{m}-2\lambda_3c_3u=(1-\lambda_3c_3)2u+\lambda_2\frac{c_1}{m}$ Dann gilt für die optimale Steuerung: $u^*=\frac{-c_1\lambda_2}{2m(1-\lambda_3c_3)}$ Somit kann die Steuerung aus den Differentialgleichungen eliminiert werden: $ \left(\begin{matrix} \dot{x}\\ \dot{\lambda}\\ \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} f(t,x,u^*(t,x,\lambda))\\ -H_x(t,x,u^*(t,x,\lambda))\\ \end{matrix}\right) \qquad x=(s,v,m)^T $ wobei $\dot{\lambda}$ die adjungierten Gleichungen sind. $ \dot{\lambda}_1&=0\\ \dot{\lambda}_2&=-\lambda_1\\ \dot{\lambda}_3&=-\lambda_2\frac{c_1}{m^2}u $ Dann nimmt man die Anfangs- und Transversalitätsbedingungen $\lambda(T)=g_x(x(T))$ aus Minimumprinzip hinzu und bekommt ein Randwertproblem: $ \left(\begin{matrix} \dot{x}\\ \dot{\lambda}\\ \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} v(t)\\ \frac{-c_1^2\lambda_2 }{2m^3(1-\lambda_3c_3)}-c_2v^2\\ \frac{-c_3c_1^2\lambda_2^2}{4m^2(1-\lambda_3c_3)^2}\\ 0\\ -\lambda_1\\ \frac{-c_1^2\lambda_2^2}{2m^2(1-\lambda_3c_3)}\\ \end{matrix}\right) $ $s(0)=0, \qquad v(0)=0,\qquad m(0)=1,\\ \lambda_1(10)=0,\qquad \lambda_2(10)=0,\qquad \lambda_3(10)=0. $ Habe ich das richtig gemacht?


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gonz
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  Beitrag No.9, eingetragen 2014-01-28

Guten Morgen inchik :) Nachgerechnet habe ichs noch nicht (das werd ich heut abend gerne mal, so nicht jemand anders dazu Zeit und Lust hat). Mir sind aber gestern noch zwei Gründe aufgegangen, warum man die Aufgabe so wie sie da steht formuliert hat. Dadurch, dass man die Beschleunigung über die Regelgrösse linear setzt, den Masseausstoss aber in deren Quadrat, - kann man nicht durch eine negative Regelgrösse Masse zurückgewinnen, - könnte man jedoch mit negativer Regelgrösse bremsen, so u<0 zugelassen wäre. Dummerweise gibt die Nebenbedingung allerdings an u>=0. Wir sollen aber am Ende auf v(10)=0 kommen. Wie bekommt man das überhaupt hin? Gas wegnehmen und ausrollen lassen geht m.E. nicht, wenn nur eine Geschwindigkeitsabhänigige Reibungskomponente vorhanden ist. Du solltest mal spasseshalber für u=0 die DGL lösen und schauen, ob man damit wirklich wieder auf v=0 kommt? Grüsse gonz


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inchik99
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-01-28

Hallo gonz :-) Danke für deine Hilfsbereitschaft ;-) Wegen Steuerschranke: gut dass du es angesprochen hast, ich habe falsch abgeschrieben (total peinlich!), also es gilt: $-10\leq u\leq10$ Viele Grüße, inchik


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inchik99
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-06

So, meine Lösung sollte richtig sein(laut meinem Betreuer) bis auf Randbedingungen. Für die sollte gelten: $s(0)=0, \qquad v(0)=0,\qquad m(0)=1,\\ s(10)=0,\qquad v(10)=0,\qquad \lambda_3(10)=0.$ Jetzt ist meine nächste Frage: Kann ich dieses Randwertproblem per Hand rechnen, wenn ja, wie würde das gehen? Mit was fange ich an? Vielen Dank im Voraus! Viele Grüße, inchik


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