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Universität/Hochschule J Singularitäten
ljot12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-02-01


Hallo,

ich habe eine Frage. ich beschäftige mich gerade mit der Charakterisierung von Singularitäten. Dazu habe ich folgende Aufgabe:



ich bin dabei auf folgendes gekommen:

a.) ist eine hebbare Singlarität, denn:
<math>f(z)=\frac{1}{z^2} \cdot \left( 1-\left(1-\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} +.... \right)\right)= \frac{-1}{2}+ \frac{z^2}{4!}- \frac{z^4}{6!} =: g(z)</math>

Dann gilt f(z) ist in <math>z_0=0</math> hebbar, denn g(z)=f(z) in einer Epsilon-Umgebung um 0 und g(z) ist holomorph in <math>z_0</math>

b.) <math>f(z)=1-\frac{1}{2!}+\frac{z^2}{4!}-\frac{z^4}{6!}</math> , d.h. f(z) ist ebenfalls hebbar

c.) <math>f(z) \cdot z^3 = 2z^2+3z+1=:g(z)</math> und <math>g(z_0) \neq 0</math>. Dann ist f(z) ein Pol 3. Ordnung.

Stimmt das? Bin mir damit noch ziemlich unsicher und hätte das gerne überprüft. Schon mal danke schön im Voraus :)

Viele Grüße,

ljot 12



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-02-01


Hi ljot12,
a) und c) sind richtig, von einem Vorzeichenfehler bei a) abgesehen.
b) ist dagegen falsch.
Gruß Buri



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ljot12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-01


Hallo Buri,

Danke für deine Antwort.

das freut mich das zu hören. Wieso ist b.) falsch?

ich habe einfach die Reihenentwicklung des Cosinus genommen und <math>\frac{1}{z^2}</math> eingesetzt. Dann komme ich auf dieses Ergebnis(im folgenden bezeiche ich das mit g(z)).

Jetzt gilt doch, dass eine Funktion g(z) existiert, welche gleich f(z) ist und die auf einer epsilon-Umgebung um z_0 holomorph ist.

Was habe ich übersehen?

Viele Grüße,

ljot 12




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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-02-01


2014-02-01 21:51 - ljot12 in Beitrag No. 2 schreibt:
... dass eine Funktion g(z) existiert, welche gleich f(z) ist und die auf einer epsilon-Umgebung um z0 holomorph ist.
Hi ljot12,
fast richtig (aus der Umgebung muss das z0 entfernt werden), aber das bedeutet nur, dass es sich überhaupt um eine isolierte Singularität handelt, und dass man die Frage nach der Art der Singularität überhaupt stellen kann.

Es gibt durchaus kompliziertere Singularitäten, zum Beispiel Verzweigungspunkte und Häufungsstellen von Polen oder Kombinationen aus diesen, und nur für isolierte Singularitäten kenne ich eine vollständige und übersichtliche Klassifizierung, nämlich die, die bekannt ist.

Die Klassifizierung von b) als hebbare Singularität ist falsch, und die Reihe, die du angegeben hast, stimmt nicht.
Gruß Buri



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ljot12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-01


Hallo Buri,

Verwenden wir veschiedene Definitionen von hebbarer Singularität? Wir haben in der Vorlesung folgendes aufgeschrieben:

Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}, f \in H(G)</math> und <math>z_0</math> eine isolierte Singularität von f, Dann gilt

Die Funktion f besitzt eine hebbare Singularität in <math>z_0</math>  <math>\iff</math> <math>\exists g \in H(U_{\varepsilon}(z_0))</math> mit <math>\varepsilon >0</math> und <math>g(z)=f(z) \forall z \in \dot{U}_{\varepsilon}(z_0)</math>


Wenn ich dann die Funktion <math>f(z)= \cos \left(\frac{1}{z^2} \right)</math> ausschreibe erhalte ich:

<math>f(z)= \sum_0^{\infty} (-1)^k \frac{(z^{-2})^{2k}}{2k!}=  \sum_0^{\infty} (-1)^k \frac{z^{k}}{2k!}=1-\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{4!}-\frac{z^3}{6!}+...=g(z)</math>

Und damit würde dann ja gelten, dass g holomorph ist auf einer epsilon umgebung um z_0 und f(z)=g(z) auf der punktierten epsilon-Umgebung um z_0. Mit obiger Definition würde dann doch gelten, dass das eine hebbare Singularität ist.

Da das aber ja nicht passt, weiß ich wirklich nicht, wo mein Fehler ist. Kannst du mir ihn vielleicht konkret nennen?

schon mal Danke für die Hilfe,

viele Grüße,

ljot12

Edit: Warum kriegt Latex hier die doppelte Potenz nicht gebacken? Bei der Potenzreihendarstellung des Cosinus von 1/z^2?



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ljot12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-02


Hallo,

ich möchte nicht stressen, aber könnte mir bitte noch Jemand sagen, was mein Fehler ist?


Viele Grüße,

ljot12



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2014-02-02


Halo,

da müssen doch negative Potenzen von z stehen.

Der erste Teil der Formel ist richtig, woher du den zweiten hast, ist vollkommen unklar.

Wally



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2014-02-02


Hallo,

klar, das stimmt natürlich! Da hab ich wohl gewaltig was übersehen.

Da dann die Potenzen gegen minus unendlich gehen, wird es sich wohl um eine wesentliche Singulatität handeln.

Wie kann ich das aber zeigen. Reicht es schon zu sagen, dass kein <math>n \in \mahbb{N}</math> existiert, so dass gilt, dass <math>f(z) \cdot (z-z_0)^n</math> in einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung beschränkt istbeschränkt ist?

Viele Grüße,

ljot12




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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2014-02-02


2014-02-02 19:20 - sv73 in Beitrag No. 7 schreibt:
... Reicht es schon zu sagen, dass kein <math>n \in \mahbb{N}</math> existiert, so dass gilt, dass <math>f(z) \cdot (z-z_0)^n</math> in einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung beschränkt ... ist?
Hi sv73 / ljot12,
wenn man es beweist, ja.
Einfacher ist es aber, sich die Reihenentwicklung anzugucken und festzustellen, dass das eine Laurentreihe ist.
Bekanntlich liegt
- eine hebbare Singularität vor, wenn keine ...
- ein Pol, wenn endlich viele ..., und
- eine wesentliche Singularität, wenn unendlich viele ...
Glieder mit negativen Exponenten auftreten.
Gruß Buri



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ljot12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-03


Hallo,

Vielen Dank für eure Hilfe!

Wir haben es heute in der Vorlesung nochmal genauer geklärt und es ist mir jetzt klar.

Gruß ljot12



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