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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » inhomogene DGL 2. Ordnung
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Universität/Hochschule J inhomogene DGL 2. Ordnung
Lilo
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  Themenstart: 2014-02-02

Hallo liebe Matheplanetler, nachdem ich endlich die DGLS 1. Ordnung verstanden habe, sitze ich bei denen 2. Ordnung fest. \ Folgende DGL 2. Ordnung ist gegeben: a^2 y''+y=sin(2x) mit a>0 und a!=1/2 1. Schritt: homogene Lösung a^2 y''+y=0 Exponentialansatz: y(x)=e^(\lambda*x) -> a^2 * \lambda^2 +1 =0 \lambda^2=-1/(a^2) abs(\lambda)= sqrt(-1/(a^2))=i/a \lambda_1=i/a und \lambda_2=-i/a Hierbei bin ich mir schon nicht mehr sicher...wie man die allgemeine homogene Lösung aufschreibt...habe trotzdem weiter gemacht 2. Schritt: Ansatz vom Typ der rechten Seite: Da meine Störfunktion sin(2x) ist habe ich den Ansatz y_p=A*sin(x)+B*cos(x) gewählt. y'_p=A*cos(x)-B*sin(x) y''_p=-A*sin(x)-B*cos(x) wenn ich das in meine inhomogene DGL einsetze komme ich auf: (A-a^2 )*sin(x)+(b-a^2 *B) cos(x)= sin(2x) ich weiß zwar dass man sin(2x) umschreiben kann in 2sin(x)cos(x) weiß aber nicht ob mir das überhaupt was bringt :S Kann mir jemand weiter helfen? Liebe Grüße Lilo Nachtrag: Kann ich einfach beim Ansatz y_p=A*sin(2x)+B*cos(2x) wählen? Wenn das geht dann kann ich davon die Ableitungen bestimmen und in meine DGL einsetzen, dann ergibt sich für A-4a^2 *A=1 und B-4a^2 *B =0 B=0 oder a=1/2 -> a=1/2 geht nicht, daher ist B=0 A=1/(1-4a^2) geht da a!=1/2 Damit wäre y_p= 1/(1-4a^2) *sin(2x) würde mir für y=y_h +y_p nur noch y_h fehlen wo ich nicht weiter weiß.


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-02-02

\ Hallo Lilo, y_p ist richtig und in y_h musst du nur noch die gefundenen \lambda_1 und \lambda_2 einsetzen. Viele Grüße, Stefan


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Lilo
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-02

Achso, das mache ich mit dem Ansatz des komplex konjugierten Paares und damit komme ich auf die Gesamtlösung: \ y=y_P +y_H y= (1/(1-4a^2))*sin(2x)+ C_1 *sin(x/a) + C_2*cos(x/a) Ist das so korrekt? LG


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StefanVogel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-02-02

\ Das prüfen wir gleich nach, daran soll es nicht scheitern: y= (1/(1-4a^2))*sin(2x)+ C_1 *sin(x/a) + C_2*cos(x/a) y'= (2/(1-4a^2))*cos(2x)+ C_1/a *cos(x/a) - C_2/a*sin(x/a) y''= -(4/(1-4a^2))*sin(2x)- C_1/a^2 *sin(x/a) - C_2/a^2*cos(x/a) a^2*y'' + y = -(4a^2/(1-4a^2))*sin(2x)- C_1 *sin(x/a) - C_2*cos(x/a) +(1/(1-4a^2))*sin(2x)+ C_1 *sin(x/a) + C_2*cos(x/a) = (-4a^2/(1-4a^2) + 1/(1-4a^2)) *sin(2x) = ((1-4a^2)/(1-4a^2))*sin(2x) = sin(2x) Es ist korrekt.


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