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Universität/Hochschule DGL 2. Ordnung lösen
Xtk
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  Themenstart: 2014-02-24

Guten Abend, möchte folgende DGL lösen: y'' = y , y(1)=y'(1)=1 auf \IR x (0,\inf ) Diese DGL 2. Ordnung lässt sich ja auf ein DGL-System 1. Ordnung zurückführen: (z_1;z_2)^' = (0,1;1,0) * (z_1;z_2) Die Lösungen dieser DGL lauten dann ja einfach: \phi_1(x)=(e^x;e^x) und \phi_2(x)=(e^(-x);-e^(-x)) und die der ursprünglichen DGL doch: \psi_1(x)=e^x und \psi_2(x)=e^(-x) , oder? Mein Problem ist nun, dass die Lösungen die Anfangsbedingung nicht erfüllen. Durch Hinsehen, sieht man aber, dass die Funktionen e^(x-1) und e^(-x+1) das sehr wohl tun. Wie kann ich also mathematisch gut erklären, wie ich auf diese Lösungen komme? Danke im Voraus :)


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Perlsago
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-02-24

Hi Xtk! Du hast durch Hinsehen eine Funktion gefunden, die allen Anforderungen, die das Problem an dich stellt, genügt. Das reicht auch. Zu einem Problem gibt es manchmal dutzende Lösungen, du könntest hier auch einen Exponentialansatz verwenden und erhältst dann als Lösung \ y = A*e^x + B*e^(-x) (dann halt entsprechend noch die Konstanten gemäß den Anfangsbedingungen bestimmen).


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Perlsago
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  Beitrag No.2, eingetragen 2014-02-24

\ Oh, mir fällt grade erst auf, dass y=e^(-x+1) natürlich keine Lösung ist. Hier ergibt y'(1) = -e^0 = -1 != y(1).


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Xtk
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-24

Hallo Perlsago, stimmt. Du hast recht. Ich würde aber gerne mal wissen, wie ich auf die Lösung des AWP's komme, wenn man es eben nicht durch Hinsehen erkennen würde. Ich habe ja eine DGL 2. Ordnung auf ein DGL-System 1. Ordnung zurückgeführt. Da gibt es ja das verfahren mit den Eigenwerten und der e-Funktion. Gibt es denn da nicht eine Möglichkeit bei der Rechnung den Anfangswert miteinzubeziehen?


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lula
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  Beitrag No.4, eingetragen 2014-02-24

Hallo das AWP löst du mit \ f=A*\psi_1+B*\psi_2 und Bestimmung von A und B bis dann, lula


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DrStupid
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  Beitrag No.5, eingetragen 2014-02-24

\quoteon(2014-02-24 21:00 - Xtk in Beitrag No. 3) Ich würde aber gerne mal wissen, wie ich auf die Lösung des AWP's komme, wenn man es eben nicht durch Hinsehen erkennen würde. \quoteoff Ich habe die DGL mit y' multipliziert. Das ergibt y'·y" = (y'²)' = y'·y = (y²)' Die Integration liefert zunächst y' = K ± y und mit der Anfangsbedingung bleibt y' = y übrig. Der Rest ist simpel. Wegen der Kettenregel funktioniert dieser Ansatz relativ oft.


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Xtk
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-25

Hallo, vielen Dank für die Antworten. Habe die DGL dann mit dem Ansatz: A*e^x+B*e^(-x) gelöst. Ist ja auch irgendwie logisch :) . Die beiden Funktionen bilden ein Fundamentalsystem und die Lösung, die die Anfangsbedingung erfüllt muss ja dann eine Linearkombination der beiden Basiselemente sein. Erhalten habe ich dann A=1/e und B=0 dies führt dann auf: \phi(x)=e^(x-1) :) Liebe Grüße XtK


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