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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » u''(t) + u(t) = exp(t)
Autor
Universität/Hochschule J u''(t) + u(t) = exp(t)
Dunkit
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Wohnort: Köln, Deutschland
  Themenstart: 2014-03-21

Hallo zusammen, ich habe vor mir eine wie ich finde eigentlich einfache DGL, aber auf dem Lösungsweg mache ich irgendetwas (vermutlich echt dummes) falsch, nur finde ich den Fehler nicht. Es geht um $u''(t) + u(t) = e^t$. Die Lösung ist offensichtlich von der Form $c_1 \sin(t) + c_2 \cos(t) + \frac{1}{2}e^t$ Wenn ich das Ganze jetzt aber systematisch angehen will, schaue ich mir die DGL näher an: Sie ist von zweiter Ordnung, linear mit konstanten Koeffizienten. Also eigentlich ein Standardfall. Ich stelle also die charakteristische Gleichung $\lambda^2+1=0$ auf und finde $\lambda=\pm i$. Das liefert mir $u(t) = c_1 e^{it} + c_2 e^{-it}$ als "Lösung", wenn ich meinem alten Skript glauben darf. (Allgemein: $u(t) = \sum_{i=1}^n \sum_{m=0}^{m_i-1} c_{m,i} t^m e^{\lambda_i t}$ bei $n$ Eigenwerten mit Vielfachheiten $m_i$) Nun rechnet man aber schnell nach, dass das keine Lösung der (homogenen) DGL ist. Mein erster Gedanke war, man könne das irgendwie umformen. Also, wo liegt hier der Fehler?! Oder habe ich mich einfach irgendwo verrechnet und finde es jetzt nicht?


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pindakaas
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-03-21

Hallo, dein Ansatz lößt doch die homogene DGL wenn du es einfach mal einsetzt. Und mit $u_s(t)=\frac{1}{2}e^t$ als spezelle Lösung hast du doch die Allgemeine schon mit. $u(t)=c u_h+ u_s$ Gruß, pindakaas


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lula
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  Beitrag No.2, eingetragen 2014-03-21

Hallo \ warum so eine umständliche Formulierung. du hast 2 verschiedene \lambda, keine Entartung, also die 2 lin unabhängigen Lösungen u_1(t)=e^it u2(t)=e^(-it) jede Linearkombination davon ist Lösung, also auch die 2 wieder lin. unabhägigen Losungen u= cos(t) und u= sin(t) wie du festgestellt hast, dass u1 und u2 keine Losungen sind entgeht mit, u_1(t)=e^it ; u1''=i^2*e^it, u1''+u1=0 dasselbe mit u2 bis dann, lula [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Dunkit
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-03-21

Arg danke, ich wusste es war ein blöder Fehler... Vorzeichenfehler beim Nachrechnen... Lula, wieso ist der Ansatz umständlich? Im Prinzip habe ich doch nur die beiden Lambda gefunden und damit die Lösung hingeschrieben. Ich habe es nur recht ausführlich aufgeschrieben, da es mir gerade darum ging das Verfahren nochmal zu wiederholen.


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