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Moderiert von Wally haerter
Differentialgleichungen » Partielle DGL » homogene Randbedingungen
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Autor
Universität/Hochschule J homogene Randbedingungen
snail
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 250
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-03-24


Hallo,

ich würde gerne wissen, was man im Allgemeinen unter homogenen Randbedingungen bei partiellen Differentialgleichungen versteht? Leider habe ich keine allgemeine Definition gefunden.

Gefunden habe ich, dass Randbedingungen der Form <math>u(x)=0</math> für <math>x\in\partial \Omega</math> als homogen bezeichnet werden. Ist das die einzige geläufige Definition? Oder fallen darunter auch noch andere Bedingungen?



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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5004
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-03-24


Hallo snail,

eine (lineare) Randbedingung ist homogen, wenn für zwei Funktionen, die dieser Randbedingung genügen, auch deren Linearkombinationen diese Eigenschaft haben.

Neben <math>u(x)=0</math> sind auch <math>u'(x)=0</math>, <math>\alpha u(x)+\beta u'(x)=0</math> und <math>u(x)=u(x+a)</math> homogen.

Grüße,
dromedar



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2014-03-24


2014-03-24 18:29 - snail im Themenstart schreibt:
... dass Randbedingungen der Form <math>u(x)=0</math> für <math>x\in\partial \Omega</math> als homogen bezeichnet werden. Ist das die einzige geläufige Definition? Oder fallen darunter auch noch andere Bedingungen?
Hi snail,
ja.
Das Entscheidende ist, dass
- auf der rechten Seite der Bedingung die 0 steht (evtl. nachdem man alles auf eine Seite der Gleichung gebracht hat), und
- auf der linken Seite irgendein linearer Operator, der von Funktionswerten und Ableitungen der gesuchten Funktion abhängt.

Die einfachsten Fälle, die es demnach geben kann, haben sogar Namen (die unabhängig davon, ob die Bedingungen homogen sind oder nicht, benutzt werden):
- Randbedingungen 1. Art: u(x) = ..., und u(x) = 0 ist dann homogen,
fed-Code einblenden

Selbstverständlich gibt es noch kompliziertere Randbedingungen, aber diese haben dann meistens keinen speziellen Namen mehr, das heißt, Randbedingungen 4. Art gibt es ganz gewiß nicht.

Nicht vergessen darf man außerdem, dass es natürlich auch nichtlineare Randbedingungen geben kann, bei diesen kann man die Begriffe "homogen" und das Gegenteil davon, also "inhomogen", überhaupt nicht anwenden, weil sie zwingend mit der Linearität zu tun haben.
Gruß Buri



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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5004
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-03-24


2014-03-24 18:56 - Buri in Beitrag No. 2 schreibt:
Das Entscheidende ist, dass
- auf der rechten Seite der Bedingung die 0 steht, und
- auf der linken Seite irgendein linearer Differentialoperator.

@Buri: Sind dann periodische Randbedingungen für Dich nicht homogen?



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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8164
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2014-03-24


Hallo, dromedar,

das fällt doch unter Fall 1/2:

u(0)-u(2\pi)=0, u'(0)-u'(2\pi)=0

Oder meinst du etwas anderes mit "periodische Randbedingung"?

Wally



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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5004
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2014-03-24


Hallo Wally,

ich würde <math>u(0)-u(2\pi)</math> nicht als Anwendung eines linearen Differentialoperators auf <math>u</math> bezeichnen. (Dieser Ausdruck ist doch nicht lokal, d.h. er hängt nicht nur von dem Verhalten von <math>u</math> in einer beliebig kleinen Umgebung irgendeines Punktes ab.)

Grüße,
dromedar



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2014-03-25


2014-03-24 23:09 - dromedar in Beitrag No. 5 schreibt:
ich würde <math>u(0)-u(2\pi)</math> nicht als Anwendung eines linearen Differentialoperators auf <math>u</math> bezeichnen.
Hi dromedar,
einverstanden. Meine Formulierung was etwas unglücklich, ich habe es geändert.
Gruß Buri



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