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 Günstigkeitsrechnung jährliche oder unterjährige Zahlung |
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Pusteblume
Neu 
Dabei seit: 03.06.2014
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2014-06-03
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Ich möchte heraus finden, ob es günstiger ist, eine Versicherung jährlich im voraus oder quartalsweise zu zahlen.
Die konkreten Beträge sind:
32.000 EUR, quartalsweise Zahlung je 8.000 EUR
oder jährlich im voraus, dann gibt es 1.150 EUR Rabatt, zu zahlen sind also nur noch 30.850 EUR
Kontokorrentzinssatz 5,85%
Wenn ich richtig überlegt habe, muss ich dann ja bei jährlicher Zahlung 22.850 EUR finanzieren, die ich sonst erst in Quartal 2-4 zahlen müsste. Macht bei dem Kontokorrentzinssatz 1.002,54 EUR an Zinsen. Ich würde also noch 147,46 EUR sparen.
Irgendwie klingt das aber sehr "hemdärmelig" gerechnet.
Wo ist der Fehler? Ich habe gegooglet, bin aber ehrlich gesagt mit den Formeln für Annuitäten und Renten überfordert.
Im voraus schon einmal vielen Dank für Eure Hilfe!
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2014-06-03
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Hallo Pusteblume,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Zu deinem Modell ein paar Rückfragen:
Ist der "Kontokorrentzinssatz " (den Begriff kenne ich nicht) derjenige Zinssatz, mit dem dein Kredit von 22.850 verzinst wird?
Wie tilgst du den Kredit? Monatlich oder quartalsweise? Wie hoch ist die Tilgung?
Wie genau bist du auf 1.002,54 gekommen?
Gruß
StrgAltEntf
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Bozzo
Senior 
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Franken
 | Beitrag No.2, eingetragen 2014-06-04
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Du sparst deutlich mehr, weil du die 22.850 Euro ja nicht über 9 Monate komplett leihst, sondern zwischenzeitlich alle 3 Monate 8.000 Euro zurückzahlst. Da sparst du nochmal gut 300 Euro an Zinsen. Insgesamt kommt es dich sogar eher an die 500 Euro günstiger.
Wenn man annimmt, dass die 30.850 Euro der "echte" Preis für die Versicherung ist, dann ist es so, als würde die Versicherung von dir 10,35% Zinsen für die Ratenzahlung in 4 Raten zu 8.000 Euro verlangen. Da macht dir deine Hausbank mit 5,85% ein deutlich besseres Angebot.
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Pusteblume
Neu 
Dabei seit: 03.06.2014
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-04
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@ Bozzo
Danke für die Aussage/ die Zahlen. Hast du einen Rechenweg für mich, den ich beim nächsten Mal nutzen kann?
@StrgAltEntf
5,85 ist der Zinssatz, der zu zahlen ist, wenn das Konto überzogen ist, die Zahlung also das Guthaben des Kontos überschreitet. Also im Prinzip worst case :-)
Tilgen würde ich ihn mit quartalsweise 8.000 Euro, damit die Rechnung vergleichbar bleibt.
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Bozzo
Senior
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Franken
| Beitrag No.4, eingetragen 2014-06-04
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Weißt du, wie du den Zinssatz ausrechnest, den deine Bank von dir für drei Monate haben will? Es sind 4√1.0585 - 1 = 1,43%. Ist dir klar, wie die Formel zustande kommt? Damit kannst du jetzt hemdsärmelig dran gehen und einfach mal gucken, was raus kommt.
Angenommen du leihst dir heute 22.850 Euro von deiner Bank und legst nochmal 8.000 Euro drauf und zahlst die Versicherung. In drei Monaten will die Bank von dir dann zusätzlich 22.850 * 1,43% = 326,76 Euro an Zinsen haben, also schuldest du ihr insgesamt 23.176,76 Euro. Davon zahlst du 8.000 Euro zurück, womit noch 15.176,76 Euro bleiben. Drei Monate später will die Bank dafür von dir nochmal 15.176,76 * 1,43% = 217,03 Euro, also schuldest du ihr jetzt 15.393,79 Euro, wovon du wieder 8.000 zurück zahlst und 7.393,79 Euro bleiben. Dafür will die Bank nach drei Monaten wieder 7.393,79 * 1,43% = 105,73 Euro, wodurch du ihr jetzt 7499,52 Euro schuldest. Von deiner letzten 8.000 Euro Rate, bleiben dir dann also 500,48 Euro übrig.
So weit klar? Wenn es mehr wie ein paar Raten gibt, macht es natürlich Sinn, dafür eine Formel zu entwickeln, aber so weit kommt man erst mal auch zu Fuß. Wenn du mehr willst, gib Bescheid.
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Pusteblume
Neu
Dabei seit: 03.06.2014
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-05
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Hallo Bozzo,
Damit komme ich allerdings weiter.
Nur eine Frage: Wie kommst du auf die 4. Wurzel? Ist das 1 + n Monate?
Den zweiten Teil kann ich nachvollziehen, allerdings hast du Recht, je mehr Raten desto komplizierter.
Wie würde eine Formel dafür aussehen?
Ich habe nämlich eine weitere Frage: Telefonanlage kaufen für 11.000 oder Mietkauf für 306 EUR / Monat auf 60 Monate....
Und wie heißt der ganze Spaß? Dann könnte ich danach nochmal gezielt googeln... Die Formeln für Annuitäten und Renten scheinen jeweils "anders herum" zu sein zu dem was ich brauche.
Danke!
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Bozzo
Senior
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Franken
| Beitrag No.6, eingetragen 2014-06-05
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Wenn i = 5,85% der Zinssatz ist, dann nennt man r = 1+i den "Aufzinsfaktor". Das %-Zeichen ist übrigens die Einheit 1/100, d. h. 5,85% ist dasselbe wie 5,85/100 = 0,0585. Der zugehörige Aufzinsfaktor ist dann r = 1,0585.
Wenn du dir 10.000 Euro über ein Jahr leihst, dann musst du dafür 10.000 * 5.85% = 585 Euro Zinsen zahlen, du schuldest also der Bank nach einem Jahr 10.585 = 10.000 + 10.000 * 5.85% = 10.000 * 1 + 10.000 * 0,0585 = 10.000 * 1,0585 Euro. Oder allgemein, wenn du dir von der Bank X Euro leihst, schuldest du ihr nach einem Jahr X*r Euro.
Wenn du dir nun die X*r Euro noch ein Jahr länger leihst, schuldest du ihr X*r*r = X*r2 Euro, und nach drei Jahren sind es X*r3 Euro, usw. Allgemein schuldest du der Bank nach n Jahren X*rn Euro. Nur wie ist es nach drei Monaten? Drei Monate sind 1/4 Jahr, daher schuldest du der Bank nach drei Monaten X*r1/4 = X*4√r Euro. Bei r = 1.0585 ist 4√r = 1.0143 gerade der Aufzinsfaktor für die 1,43% Zinsen, die alle drei Monate anfallen.
Du kannst ja mal umgekehrt die Probe machen: Wenn du dir 10.000 Euro für 1 Jahr leihst, schuldest du der Bank danach 10.585 Euro. Wenn du sie dir für drei Monate leihst, schuldest du der Bank danach 10.143 Euro. Leihst du sie dir nun noch mal drei Monate länger, schuldest du ihr 10.143 * 1,0143 = 10.288,04 Euro, nochmal drei Monate später sind es 10.288,04 * 1,0143 = 10.435,16 Euro und nach einem Jahr sind es schließlich 10.435,16 * 1,0143 = 10.584,38 Euro. Mist, da fehlen 62 Cent, da hätte ich wohl doch eine Nachkomma Stelle mehr mitnehmen sollen und mit 1,431% Zinsen auf drei Monate rechnen. Am Prinzip ändert das aber nichts.
Die Formeln sind schon richtig, es gibt nur leider einen ganzen Zoo davon. Es gibt nämlich kleine Feinheiten, wie, ob man zu Beginn einer Periode zahlt/bekommt oder zum Ende (das nennt sich "vorschüssig" oder "nachschüssig"), oder ob man den Gegenwert dafür zu Beginn des Gesamtzeitraums oder zum Ende bekommt/zahlt (das nennt sich dann "Barwert" oder "Endwert"). Grundsätzlich ist es aber immer dieselbe Idee, es geht nämlich immer über die "geometrische Summe".
Gehen wir mal an die Telefonanlage. Du nimmst bei deiner Bank einen Kredit über A = 11.000 Euro auf und zahlst dann (vorschüssig) monatlich R = 306 Euro zurück. Das machen wir jetzt 60 Monate lang und gucken, wie viel dann auf dem Konto ist. Sind da immer noch Schulden drauf, hat sich der Kredit wohl nicht gelohnt. Hat sich mittlerweile ein Guthaben angesammelt, hat er sich es dagegen.
Der Aufzinsfaktor für einen Monat sei r. Wie hoch ist hier jetzt r bei 5,85% Jahreszins? Zu beginn leihst du dir die A Euro und zahlen davon gleich R zurück, du schuldest also der Bank A-R Euro. Nach einem Monat sind daraus (A-R)*r Euro geworden. Davon zahlst du wieder R Euro zurück, so dass jetzt noch (A-R)*r-R Euro bleiben, einen Monat später sind daraus ((A-R)*r-R)*r Euro geworden und nach dem wieder R Euro zurück gezahlt wurden ((A-R)*r-R)*r-R Euro. Jetzt wird es langsam Zeit, sich den Term mal genauer anzugucken, ob man ein Muster erkennt. Ausmultiplizieren und nach A und R sortieren liefert A*r2 - R*(r2+r+1) Euro schulden nach 2 Monaten und der 3. Ratenzahlung. Einen Monat und eine Rate weiter sind es (A*r2-R*(r2+r+1))*r-R = A*r3 - R*(r3+r2+r+1) Euro und das setzt sich jetzt so fort. Nach dem n. Monat und der n+1. Rate schuldest du der Bank noch A*rn - R*(rn+rn-1+...+r+1) Euro.
Abgesehen von dem rn+rn-1+...+r+1 ist die Formel ganz ansehnlich. Das ist aber gerade eine geometrische Summe und die kann man auch einfacher ausdrücken. Ist S = rn+rn-1+...+r+1 nämlich die Summe, so ist r*S = rn+1+rn+...+r2+r und wenn man S davon abzieht fallen fast alle Summanden heraus und es bleibt r*S-S = rn+1-1. Es ist aber r*S-S = (r-1)*S und teilt man daher durch r-1 (was man nur machen darf wenn r ungleich 1 ist, ist es aber hier), dann bleibt S = (rn+1-1)/(r-1) = rn+rn-1+...+r+1.
Das bedeutet, nach n Monaten und der n+1. Rate schuldest du der Bank noch A*rn - R*(rn+1-1)/(r-1) Euro. Jetzt kannst du ausrechnen, was du der Bank nach 59 Monaten und der 60. Rate noch schuldest. Wenn das Ergebnis negativ ist, hat sich der Kredit gelohnt. Leider bekommst du dann das Geld aber nicht alles, weil dir die Bank keine 5,85% Zinsen auf Guthaben gibt. Ab dem Moment, wo du ins Plus kommst, müsstest du daher mit einem anderen Zinssatz weiter rechnen. Du kannst auch gucken, nach welchem Monat deine Restschuld zum ersten Mal negativ wird und siehst dann, nach wie vielen Monaten der Kredit getilgt ist.
Damit man nicht jedes Mal die passende Formel neu entwickeln muss, so wie ich das jetzt hier getan habe, gibt es eine Art Framework mit einigen immer wieder kehrenden Mustern, aus denen man dann die Situation nachstellen kann und daraus direkt die passende Formel ableiten kann. Dazu muss man sich aber etwas mit dem Thema befassen. Ein wichtiger Stichpunkt dazu ist der "Zahlungsstrom". Eine typische Formel ist der Barwert einer vorschüssigen Zahlung von einer Einheit pro Periode über n Perioden. Dieser ist an = (1-vn)/(1-v) mit dem "Abzinsfaktor" v=1/r. Das ist der Wert, den ein solcher Zahlungsstrom heute hat. Das ist also quasi der Kredit, den du bei der Bank aufnehmen könntest, wenn du pro Periode einen Euro vorschüssig über n Perioden wieder zurück zahlst. Wenn du wissen wolltest, wie viel du monatlich an die Bank zahlen müsstest um den Kredit in 60 Monaten zu tilgen könntest du jetzt einfach A = R * an mit A = 11.000 und n = 60 nach R auflösen. Oder du gibst R vor und löst nach n auf um zu ermitteln, nach wie vielen Monaten der Kredit getilgt ist.
Wenn du dir die Formel genau anschaust, stellst du übrigens fest, dass es sich um dieselbe Formel handelt, die wir auch entwickelt haben, du musst nur letztere Formel nochmal mit rn multiplizieren und die ganzen v durch r ausdrücken. Der unterschied ist, von welchem Zeitpunkt aus die Werte verglichen werden. Hier werden die Werte zum heutigen Tag verglichen, was oft Vorteile mit sich bringt. Oben haben wir die Werte 59 Monate später verglichen, an dem Tag, an dem die letzte Rate gezahlt wurde. Von dieser Formel kommen wir zur anderen, in dem wir beide Seiten um 59 Monate aufzinsen, also mit r59 multiplizieren, wie gerade schon angedeutet.
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