Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Frage zu Polordnungen
Autor
Universität/Hochschule Frage zu Polordnungen
larsrrr
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.06.2014
Mitteilungen: 7
  Themenstart: 2014-06-16

Hallo Liebe Leute! Ich hab eine Frage: Ich möchte von $f(z)=\frac{cos(z)-1}{z^4}$ die Art der Singularitäten bzw. die Polordnung in $z_0=0$ bestimmen. $cos(z)-1$ kann ich ja als $\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!}$ schreiben. Also ist $f(z)=\frac{1}{z^4}\sum_{k=1}^\infty(-i)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \frac{z^{2k-4}}{(2k)!}$ $\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k-4)!}$ kann ich umschreiben zu $\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k+1} \frac{z^{2k-2}}{(2(k+1))!}$ Und der letzte Ausdruck ist eine Potenzreihe die konvergiert auch für $z=0$. Aber das darf doch nicht sein weil $f(z)$ dort ja eine Singularität nämlich einen Pol zweiter Ordnung hat. Um da drauf zu kommen muss man scheinbar $1/z^2$ aus der Reihe ausklammern. Aber warum? LG Lars


   Profil
Calculus
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.08.2012
Mitteilungen: 6086
  Beitrag No.1, eingetragen 2014-06-16

Die Reihe konvergiert nicht für z = 0, denn das erste Reihenglied ist -z-2/2. Je nachdem wie ihr den Grad von Polen definiert habt sieht man daran sofort, dass der Grad 2 ist.


   Profil
larsrrr
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.06.2014
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-16

Danke für die Antwort, calculus. Ist das was du schreibst gleichbedeutend damit, dass der Hauptteil der Laurentreihe nach zwei Gliedern abbricht? Und wäre die Laurentreihe denn $-\frac{1}{z^2 2!}+\frac{1}{4!}+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+3}}{(2k+6)!}z^{2k+2}$ wobei die ersten beiden Summanden der Hauptteil und der Rest der Nebenteil ist? Lg Lars


   Profil
Calculus
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.08.2012
Mitteilungen: 6086
  Beitrag No.3, eingetragen 2014-06-16

Der Hauptteil besteht nur aus dem ersten Glied. Das zweite Glied gehört bereits zum Nebenteil.


   Profil
larsrrr
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.06.2014
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-17

Aber wäre die Ordnung dann nicht 1, wenn nur 1 Summand des Hauptteils stehenbleibt?


   Profil
fru
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
  Beitrag No.5, eingetragen 2014-06-17

Hallo Lars! Nein, die Ordnung des Poles ist der höchste Exponent von 1/z im Hauptteil, hier also 2. Siehe dazu auch diesen Beitrag von mir, den ich erst vor ein paar Stunden zu einer ganz ähnlichen Funktion (mit dem Nenner z3 statt z4) geschrieben habe. Liebe Grüße, Franz [Verschoben aus Forum 'Funktionentheorie' in Forum 'Holomorphie' von fru]


   Profil
larsrrr hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
larsrrr hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]