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 Varianz Zahlungsstrom |
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buhny
Junior 
Dabei seit: 31.01.2012
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2014-07-10
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Hallo,
ich möchte die Varianz eines nicht sicheren abgezinsten Zahlungsstrom berechnen und die Formel
$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ benutzen.
Der Cashflow ist durch
$PV=\int_0^\infty G e^{-it} 1_{\left\lbrace t
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davidhigh
Senior 
Dabei seit: 10.03.2007
Mitteilungen: 3057
Wohnort: Kiel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2014-07-11
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Hallo,
das Stichwort das du suchst lautet "Ito-Isometrie", google doch mal danach.
Viele Grüße,
David
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buhny
Junior
Dabei seit: 31.01.2012
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-11
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Habe etwas gesucht.
Erhält man dann
$E\left(X^2\right)=\int^\infty_0 G^2 e^{-2it} P\left(t\right)dt$ ?
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Bozzo
Senior
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Franken
 | Beitrag No.3, eingetragen 2014-07-11
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Passt leider nicht ganz. Man kann das ganze aber ganz einfach direkt ausrechnen.
Schreibe PV einmal als Integral nach dt und ändere einmal die Integrationsvariable zu s und schreibe es als Integral nach ds. Dann multiplizierst du die beiden.
Teile nach s < t und s > t auf (und s = t, aber das ist eine Nullmenge) und beachte, dass dabei jeweils das gleiche heraus kommt. In dem inneren Integral kommt dann kein P mehr vor und du kannst es integrieren.
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buhny
Junior
Dabei seit: 31.01.2012
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-14
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Ich habe mal versucht deine Tipps zu verwenden, aber ich komme nicht weiter... Ich habe folgendes gemacht:
$PV^2=\left(\int_0^\infty e^{-it} 1_{\left\lbrace t
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Bozzo
Senior
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Franken
| Beitrag No.5, eingetragen 2014-07-16
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Du kannst das äußere Integral auch noch an der Summe aufspalten und im linken Integral das innere Integral über t berechnen. Im rechten Integral kannst du die Integrationsreihenfolge vertauschen und auch das innere Integral berechnen. Kommt (oh Wunder) bei beiden dasselbe heraus. War ja wegen der Symmetrie von s und t auch zu erwarten.
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buhny
Junior
Dabei seit: 31.01.2012
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-17
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Dann erhalte ich also weiter
$\int_0^\infty\int_0^s e^{-is}e^{-it}1_{\left\lbrace s< T\right\rbrace}dtds + \int_0^\infty\int_s^\infty e^{-is}e^{-it}1_{\left\lbrace t< T\right\rbrace}dtds \\
=\int_0^\infty \left(\frac{1-e^{-is}}{i}\right)e^{-is}1_{\left\lbrace s< T\right\rbrace}ds + \int_0^\infty \int_s^\infty e^{-is}e^{-it}1_{\left\lbrace t< T\right\rbrace}dtds$ .
Nun ist mir aber nicht klar warum ich die Integrale vertauschen darf? Bzw. wenn ich es mache erhalte ich
$\int_0^\infty \int_s^\infty e^{-is}e^{-it}1_{\left\lbrace t< T\right\rbrace}dtds = \int_s^\infty \int_0^\infty e^{-is}e^{-it}1_{\left\lbrace t< T\right\rbrace}dsdt =\int_s^\infty \frac{1}{\alpha}e^{-it}1_{\left\lbrace t< T\right\rbrace}dt $
und das hilft mir irgendwie auch nicht weiter.
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Ahok jetzt habe ich es raus. Man benötigt folgende Identität
$\int_a^b \int_a^y f(x,y) dx dy = \int_a^b \int_x^b f(x,y) dy dx $
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