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Mathematik » Lineare Algebra » Beweis, dass Vollständige Lösung eines linearen Gleichungssystems z + Kern(A) ist...
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Universität/Hochschule Beweis, dass Vollständige Lösung eines linearen Gleichungssystems z + Kern(A) ist...
Schreck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-10-29


Angenommen ich habe ein lineares Gleichungssystem mit der Koefizientenmatrix A und der Inhomogenität b und dem Variablenveltor x. So ist die Vollständige Lösung des Gleichungssystems:

<math>\underset{\sim}{A} \cdot \vec{x}=\vec{b}</math>

<math>\vec{x} = \vec{z} + \text{Kern}(A)</math>
 
wobei z der Lösungsvektor der inhomogenen Gleichung ist.

Ich hätte den Beweis so geführt:
Wenn Ax = 0 und Az = b, dann folgt daraus Ax + Az = 0 + b.
Also A(x + z) = b. Und da x der Kern(A) ist, ist auch Kern(A) + z die Lösung des GLS...



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arcd3riv4tive
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-10-29


Hi Schreck!

Zunächst eine kleine Richtigstellung:
2014-10-29 17:23 - Schreck im Themenstart schreibt:
wobei z der Lösungsvektor der inhomogenen Gleichung ist.
Es ist ungünstig von dem Lösungsvektor zu sprechen, da er im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sein wird (es kann auch mehrere geben). Bessere Formulierung wäre: "wobei z ein Lösungsvektor der inhomogenen Gleichung ist".

2014-10-29 17:23 - Schreck im Themenstart schreibt:
<math>\vec{x} = \vec{z} + \text{Kern}(A)</math>
Dies ist auch eine ungünstige Schreibweise. Bedenke, dass der Kern einer Matrix eine Menge von Vektoren ist. Besser wäre es zu schreiben: <math>\vec{x} \in \vec{z} + \ker{A}</math> (falls du weißt, was das genau bedeutet).


Zum eigentlichen Thema. Du musst zeigen:
1) Jeder Vektor der Menge <math>z + \ker{A}</math> löst das GLS.
2) Jede Lösung des GLS liegt in der Menge <math>z + \ker{A}</math>.

Mit
2014-10-29 17:23 - Schreck im Themenstart schreibt:
Wenn Ax = 0 und Az = b, dann folgt daraus Ax + Az = 0 + b.
Also A(x + z) = b.
hast du 1) gezeigt.

Mit
2014-10-29 17:23 - Schreck im Themenstart schreibt:
Und da x der Kern(A) ist, ist auch Kern(A) + z die Lösung des GLS...
hast du 2) nur unzureichend begründet. Hier musst du noch etwas genauer argumentieren.

mfG
arcd3riv4tive




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Schreck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-29


2014-10-29 18:30 - arcd3riv4tive in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi Schreck!

Es ist ungünstig von dem Lösungsvektor zu sprechen, da er im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sein wird (es kann auch mehrere geben). Bessere Formulierung wäre: "wobei z ein Lösungsvektor der inhomogenen Gleichung ist".


Ja, da hängt es noch einwenig bei meinem Verständnis. Und zwar deswegen weil ich ja die gesamte Lösung suche. Wieso picke ich mir ein beliebiges z heraus? Wieso summiere ich nicht alle Lösungen oder noch besser schreibe sie genauso als Linearkombination wie ich es auch mit dem Kern(A) mache?



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arcd3riv4tive
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-10-29


2014-10-29 18:51 - Schreck in Beitrag No. 2 schreibt:
Wieso picke ich mir ein beliebiges z heraus?
Weil obige Aussage für eine beliebige Lösung z des GLS gültig ist (was du ja mit der Aufgabe zeigst).

2014-10-29 18:51 - Schreck in Beitrag No. 2 schreibt:
Wieso summiere ich nicht alle Lösungen oder noch besser schreibe sie genauso als Linearkombination wie ich es auch mit dem Kern(A) mache?
Diese Frage verstehe ich nicht.

Vielleicht zur Klarstellung: Die Menge
<math>z + \ker{A} = \{ z + x ~|~ x \in \ker{A} \}</math>
ist ein sogenannter affiner Unterraum, also ein Unterraum, der um den Vektor <math>z</math> verschoben wird. Dieser ist im Allgemeinen kein (gewöhnlicher) Unterraum mehr, weil er in der Regel bezüglich Linearkombinationen nicht abgeschlossen ist.



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Schreck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-30


2014-10-29 19:00 - arcd3riv4tive in Beitrag No. 3 schreibt:

2014-10-29 18:51 - Schreck in Beitrag No. 2 schreibt:
Wieso summiere ich nicht alle Lösungen oder noch besser schreibe sie genauso als Linearkombination wie ich es auch mit dem Kern(A) mache?
Diese Frage verstehe ich nicht.

Ok Summieren ist vielleicht falsch, aber zum Beispiel liefert das lineare GS:

<math>A \cdot \vec{x} = \vec{b}</math>

mit

<math>A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 3\\
2 & -1 & 2 & 2 & 6\\
3 & 2 & -4 & -3 & -9
\end{pmatrix}</math>

und

<math>\vec{b} = \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}</math>

die partikuläre Lösung:
<math>\vec{x} = \begin{pmatrix}
1\\
2a\\
-3b \\
b
\end{pmatrix}</math>

wobei a und b irgendwelche Zahlen sein können...
Jedoch steht in unserem Skript: Eine partikuläre Lösung erhält man dann, wenn man für a und b willkürlich Zahlen einsetzt.

Das ist zwar richtig, aber das wäre doch nur eine einzige Lösung aus unendlich vielen. Wieso lasst man die partikulärlösung nicht auch als Vektor einfach so stehen?



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arcd3riv4tive
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2014-10-30


Bei der Lösung hast du dich vertippt:
2014-10-30 14:52 - Schreck in Beitrag No. 4 schreibt:
<math>\vec{x} = \begin{pmatrix}
1\\
2a\\
-3b \\
b
\end{pmatrix}</math>
sollte <math>\vec{x} = \begin{pmatrix}
1\\
2a\\
a\\
-3b \\
b
\end{pmatrix}</math> sein.

2014-10-30 14:52 - Schreck in Beitrag No. 4 schreibt:
Wieso lasst man die partikulärlösung nicht auch als Vektor einfach so stehen?

Mach dir die Begriffe klar: Eine partikuläre Lösung des GLS ist ein Vektor, der dieses GLS erfüllt.
Die vollständige Lösung des GLS ist die Menge aller partikulären Lösungen.

Aus dem Beispiel kannst du auch leicht erkennen:
<math>\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\  2a\\  a\\ -3b \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\  0\\  0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} 0\\  2\\  1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0\\  0\\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math>
wobei der erste Vektor <math>(1, 0, 0, 0, 0)^T</math> eine partikuläre Lösung des GLS ist und die beiden letzten Vektoren eine Basis des Kerns der Matrix A bilden.

Sinn und Zweck der Aufgabenstellung ist zu zeigen, dass du alle Lösungen des GLS kennst, wenn du eine partikuläre Lösung und den Kern von A kennst.



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Schreck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-30



Sinn und Zweck der Aufgabenstellung ist zu zeigen, dass du alle Lösungen des GLS kennst, wenn du eine partikuläre Lösung und den Kern von A kennst.

Aber wieso nur eine partikuläre Lösung? Wieso nicht alle?



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2014-10-30 16:18 - Schreck in Beitrag No. 6 schreibt:
Aber wieso nur eine partikuläre Lösung? Wieso nicht alle?
Tut mir Leid, aber weder verstehe ich deine Frage, noch weiß ich, ob sie überhaupt noch mit deiner Aufgabe zu tun hat. Vielleicht beantwortet sie sich von selbst, wenn du die Aufgabe vollständig gelöst hast.

Für dich verbleibt noch den oben genannten Punkt 2) zu zeigen:
Jede partikuläre Lösung liegt in <math>z + ker{A}</math>.

Also: Sei <math>y</math> eine beliebige Lösung des GLS. Zeige, dass es ein <math>x \in ker{A}</math> derart gibt, dass <math>y = z + x</math>.



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