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Mathematik » Lineare Algebra » Vektorraum,Untervektorraum
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Universität/Hochschule J Vektorraum,Untervektorraum
Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-10-29


Hallo Planetarier,

ich hab folgende Aufgabe:



Ich hab irgendwie einen Denkfehler bei Vektorräumen und Untervektorräumen obwohl ich schon so viel drüber gegrübelt und gelesen habe.

Mir sind die Axiome über die Untervektoräume bekannt nur weiß ich nie wie ich das zeigen soll bzw.kann.

das klingt jetzt wahrscheinlich blöd ,aber nehmen wir folgendes Beispiel: die Menge aller fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Matritzen ist ja ein Vektorraum, und dann sagt man ja das die Elemente von dem Vektorraum Vektoren heißen, meine (dumme) Frage ist jetzt was sind nun die Vektoren??? sind das die Matritzen selber oder die Spalten oder die Zeilen oder die Einträge oder alles??? Sorry aber da find ich nirgends eine Antwort drauf.

zu obigen Beispiel könnt ihr mir da vielleicht mal einen Ansatz geben

wär euch echt dankbar

lg



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arcd3riv4tive
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-10-29


Hi Rene!

2014-10-29 20:38 - Rene_21 im Themenstart schreibt:
Matritzen ist ja ein Vektorraum, und dann sagt man ja das die Elemente von dem Vektorraum Vektoren heißen, meine (dumme) Frage ist jetzt was sind nun die Vektoren??? sind das die Matritzen selber oder die Spalten oder die Zeilen oder die Einträge oder alles???

Wie du schon selber beschrieben hast bezeichnet man ein Element des Vektorraums als Vektor. Wenn du beispielsweise den Vektorraum <math>\mathbb{K}^{m \times n}</math> (Matrizen mit m Zeilen und n Spalten über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>) betrachtest, ist jede Matrix dieses Vektorraumes in diesem Sinne als Vektor (dieses Vektorraumes) zu bezeichnen.

Vor allem außerhalb der reinen linearen Algebra bezeichnet man üblicherweise (und das ist vielleicht das, was dich verwirrt) ausschließlich Zeilen- bzw. Spaltenvektoren als Vektoren. Das hat sich schlicht und einfach so eingebürgert.


Zu der Aufgabe:
Stelle für jede Menge eine Vermutung auf (ob die ein Unterraum ist oder nicht) und weise sie nach.
Bei Vermutung Unterraum: Zeige, dass die Menge nicht leer ist und beliebige Linearkombinationen von Vektoren aus der Menge wieder in der Menge liegen.
Bei Vermutung kein Unterraum: zeige, dass die Menge leer ist oder es eine Linearkombination gibt, die nicht in der Menge liegt.

Tipp:
Die erste Menge ist kein Unterraum, die zweite schon. Keine der angegebenen Mengen ist leer.

mfG
arcd3riv4tive


-----------------
“We're all mad here.”
― Cheshire Cat, Alice in Wonderland



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-29


erstmal vielen Dank zu deiner Antwort auf meine Frage,

mein Problem ist das ich das einfach nicht kapier wie ich das zeigen soll

bei der ersten wieß ich wenn A invertierbar ist dann muss es eine Matrix B geben sodass A*B gleich der Einheitsmatrix ist,diese Menge ist doch nicht leer weil ja schon in der Menge steht das A invertierbar ist.Ist es darum kein Unterraum weil der Nullvektor nicht enthalten ist??? da 0*A niemals die Einheitsmatrix ergibt????

bei der zweiten weiß ich überhaupt nicht was anfangen damit, die A´s sind ja die Einträge der Matritzen ,oder?? Die Menge kann doch gar nicht leer sein weil ja in der Angabe schon was drinsteht ?? irgendwas kapier ich einfach nicht bei dem Zeugs

Wie kann denn eine Menge leer sein wenn in der Angabe schon was in der Menge steht??

In einem Untervektorraum ist die Addition und die Multiplikation mit Skalaren ja abgeschlossen laut Theorie,doch was bedeutet das genau,wenn ich zwei Vektoren habe u und v warum soll dann u+v nicht drinnen sein

ich verzweifel daran,



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-30


Morgen,

ich hab jetzt die halbe Nacht weiter probiert und abermal mei Skript und sämtliche Sachen gelesen,doch ich versteh immer noch nicht wie man das zeigen kann.

wie kann ich denn sagen wenn ich zwei Vektoren addiere oder mit einem Skalar multipliziere ob das dann immer noch ,oder nicht mehr im Untervektorraum sein soll,von wo weiß man das???

Sind die A12 in den Beispielen die Einträge der Matritzen (bzw. Vektoren) oder selbst die Vektoren?? was meinst du??


wäre sehr froh um deine/eure Hilfe,denn irgendwie hab ich ein Verständnisproblem

lg



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2014-10-30


2014-10-29 21:51 - Rene_21 in Beitrag No. 2 schreibt:
In einem Untervektorraum ist die Addition und die Multiplikation mit Skalaren ja abgeschlossen laut Theorie,doch was bedeutet das genau,wenn ich zwei Vektoren habe u und v warum soll dann u+v nicht drinnen sein

Die angegebenen Mengen sind ja nicht beliebig, sondern immer an eine Bedingung geknüpft. In der ersten Menge ist gefordert, dass alle Elemente invertierbar sein müssen. Betrachte z.B.<math>A=\mathds{1}_3</math> und <math>B=-\mathds{1}_3</math>, wobei ich mit <math>\mathds{1}_3</math> die 3x3-Einheitsmatrix meine. Diese beiden Matrizen sind offensichtlich invertierbar, ist aber die Linearkombination A+B immer noch invertierbar?

Es gibt keinen Weg, den man algorithmisch abarbeiten kann, der einem eine eindeutige Aussage wie "ist Unterraum" oder "ist kein Unterraum" liefert, veranschauliche dir einfach die Mengen, skizziere ein paar Elemente und probier rum, dann sieht man immer recht schnell, ob irgendwas schief gehen kann. Du hast ja auch bereits festgestellt, dass die erste Menge den Nullvektor <math>0_3</math> nicht enthält, da die 0-Matrix nicht invertierbar ist, das heißt ja nichts anderes als:
Der Raum muss abgeschlossen sein bzgl. Multiplikation mit Skalaren <math>\lambda\in\mathbb{Q}</math>, wir dürfen also immer mit der 0 multiplizieren und erhalten stets <math>A\cdot 0=0_3</math>, diese Matrix ist, wie du erkannt hast, nicht invertierbar. Nun haben wir also schon relativ schnell zwei Beispiele gefunden, die die Unterraumaxiome widerlegen. Fertig. Nächste Aufgabe.

Widmen wir uns der zweiten Aufgabe. Es sind also nur Matrizen zugelassen, deren Einträge die Gleichung <math>A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0</math> erfüllen, wobei die Einträge <math>A_{ij}\in\mathbb{Q}</math>. Gut, nehmen wir uns also zwei solche Matrizen A und B, ein Skalar <math>\lambda</math> und bilden die Linearkombination <math>A+\lambda B=C</math>, wenn wir zeigen können, dass die Einträge der Matrix C für beliebige A,B,<math>\lambda</math> stets die obige Gleichung erfüllen, sind wir fertig. Die Addition und Multiplikation mit Skalaren im Matrizenraum läuft komponentenweise ab, wir prüfen also:


<math>(A_{12}+\lambda B_{12})-(A_{22}+\lambda B_{22})+(A_{31}+\lambda B_{31})-(A_{21}+\lambda B_{21})= \dots\text{ umsortieren }\dots=

(A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21})+\lambda (B_{12}-B_{22}+B_{31}-B_{21})=\dots</math>

Da wir A und B ja aus dieser Menge gewählt haben, erfüllen deren Einträge die Bedingung, d.h.

<math>\dots=(A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21})+\lambda (B_{12}-B_{22}+B_{31}-B_{21})=0+\lambda\cdot 0 = 0</math>

Folglich liegt also auch die Matrix C, die ja eine beliebige Linearkombination beliebiger Elemente war, wieder in dieser Menge. Man sieht außerdem schnell, dass die Menge nicht leer ist (z.B. ist trivialerweise die Nullmatrix enthalten) und somit wird diese Menge zu einem Untervektorraum. Gar nicht so schwer, oder? Jetzt versuche dich mal an der dritten und vierten Menge.



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-30


Hy,

Vielen Dank für deine Erklärung erstmals,ich versteh es jetzt schon fast,aber ganz klick hats noch nicht gemacht.

Meine erste Frage ist wie kann denn eine Menge überhaupt leer sein?? ist der Nullvektor nicht in jeder Menge enthalten?? du schreibst nämlich das bei der zweiten Aufgabe "trivialerweise" die Nullmatrix enthalten ist aber warum??? ist die Nullmatrix nicht immer enthalten denn ich kann ja immer zu irgendwas Null hinzuaddieren und es kommt das selbe heraus,oder seh ich das komplett falsch?? Ich hab da irgendein Verständnisproblem glaub.

Ok nun zur dritten Aufgabe:

fed-Code einblenden

Ich hoffe du versteht halbwegs mein Problem

mfg






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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2014-10-30


Du verwechselst ein paar Sachen:

1. Wenn du zeigen willst, dass eine angegebene Menge kein Untervektorraum ist, genügt es, eine Linearkombination von Elementen dieser Menge zu finden, die nicht mehr in dieser Menge liegt oder dass sie leer ist. Du hast (korrekt) begründet, dass in der dritten Menge eine Linearkombination im Allgemeinen nicht mehr enthalten ist, das langt. Ab diesem Punkt spielt es überhaupt keine Rolle mehr, ob die Menge leer ist oder nicht - Unterraum kann sie nicht mehr sein.

2. Natürlich kann eine Menge leer sein, betrachte z.B. <math>\{x\in\mathbb{R}\mid\ x^2+1=0\}</math>. ABER, und jetzt kommt der wichtige Punkt, wenn ein Untervektorraum nicht leer ist, enthält er immer die Null. Überlege dir, warum das so ist.
Bei der zweiten Menge ist die Null enthalten, da die Einträge der Nullmatrix alle 0 sind und somit <math>A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0-0+0-0=0</math> ist. Das ist nicht schwer einzusehen, deswegen "trivial".

Wie gesagt, hast du bei der dritten Menge bereits richtig begründet, dass sie keinen Unterraum von <math>\mathbb{Q}^{3\times3}</math> bildet. Wo genau liegt bei der vierten Menge dein Problem? Schreibe dir diese Summe der Elementarmatrizen doch einfach mal hin und mache wieder exakt das gleiche, d.h. du nimmst zwei Elemente daraus und ein Skalar und bildest die Linearkombination. Dann schaust du, ob es rationale <math>a,b,\lambda</math> gibt, für die diese Linearkombination eventuell nicht mehr eine rationale Matrix ergibt - oder du stellst fest, dass die so entstandene Matrix stets rationale Einträge besitzt.



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-30


ok ,ich hatte echt grobe Denkfehler drinnen aber es wird jetzt immer klarer

du sagtest wenn ein Unterraum nicht leer ist, ist immer die Null enthalten,ich probier mal das zu verstehen.

da ein Unterraum eine Teilmenge eines Vektorraumes ist , und laut Definition bzw. Axiom im Vektoraum hinsichtlich (V,+) eine abelsche Gruppe ist (da gilt ja v+0=v),dann muss dieser Nullvektor auch in der Untergruppe sein,weil ja sonst der Untervektorraum kein Vektorraum mehr sein kann,ist das richtig so??

Ja bei der vierten steh ich noch an mich verwirrt es das da kein = irgendwas steht

ich hab alles herausgeschrieben und ausgerechnet:

fed-Code einblenden





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fnordel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2014-10-30


Hi,

2014-10-30 18:54 - Rene_21 in Beitrag No. 7 schreibt:
fed-Code einblenden

Alle Elemente Deiner Menge haben diese von Dir korrekt berechnete Form, jeweils mit igendwelchen <math>a,b\in \mathbb{Q}</math>. Wähle also beliebige rationale Zahlen <math>a_1, b_1</math> und <math>a_2, b_2</math> um zwei Elemente "herauszunehmen".

mfg, fnordel



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2014-10-30


Du denkst sogar etwas zu abstrakt. Wenn ein Vektorraum <math>V</math> irgendein Element <math>v</math> enthält, enthält er ja auch nach Definition stets das Element <math>\lambda v \ \forall\ \lambda\in\mathbb{K}</math>, also auch stets <math>\lambda v=0\cdot v=0</math>. Aber du hast natürlich vollkommen recht, dass <math>(V,+)</math> als abelsche Gruppe auch das neutrale Element der Addition enthalten muss, was eben der Null entspricht.

Gut, du hast also festgestellt, dass alle Elemente die Gestalt <math>A=\begin{pmatrix}0&0&1\\4a&0&0\\-3b&0&0\end{pmatrix}</math> haben. Nun nehmen wir uns also wieder zwei beliebige solche Elemente A und B, ein Skalar <math>\lambda\in\mathbb{Q}</math> und prüfen nach, ob <math>A+\lambda B</math> auch noch in dieser Menge enthalten ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-30


hmm ok ich rechne es dir mal vor wie ich es glaube also:

fed-Code einblenden



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fnordel
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2014-10-30 20:18 - Rene_21 in Beitrag No. 10 schreibt:
hmm ok ich rechne es dir mal vor wie ich es glaube also:

fed-Code einblenden
Wie kommst Du darauf das das falsch wäre?  😵
Weil <math>\lambda</math> beliebig aus <math>\mathbb{Q}</math> sein darf und damit im Allgemeinen <math>1 + \lambda \neq 1</math> gilt, hast Du ein Gegenbeispiel konstruiert, welches zeigt, das diese Menge kein Untervektorraum ist. Fertig.  😄

mfg, fnordel



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-30


Ok also langsam versteh ich die ganze Geschichte

eine Frage hab ich noch,die anderen Einträge der Matrix würden passen oder???



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fnordel
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2014-10-30 20:28 - Rene_21 in Beitrag No. 12 schreibt:
Ok also langsam versteh ich die ganze Geschichte

eine Frage hab ich noch,die anderen Einträge der Matrix würden passen oder???

Ich sehe gerade, du hast Dich bei den anderen Einträgen verrechnet. Da fehlt das 4* bzw -3* in dem zweiten Summanden .. Ändert aber nichts an meine vorherigen Aussage.
Um Deine Frage zu beantworten musst du ja nur entscheiden, ob (exemplarisch) für <math>a_1, a_2, \lambda\in\mathbb{Q}</math> auch <math>4(a_1 + \lambda a_2) = 4 a_3</math> für ein <math>a_3\in\mathbb{Q}</math> gilt.
Dies ist <math>\dots</math>, weil <math>\mathbb{Q}</math> ein <math>\dots</math> ist.

mfg, fnordel
 



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Rene_21
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oh ja stimmt da hab ich was vergessen

ja indemmfall würden die anderen Einträge stimmen,obwohl ich dein Lückentext nicht ganz lösen kann :)



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fnordel
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2014-10-30 20:43 - Rene_21 in Beitrag No. 14 schreibt:
oh ja stimmt da hab ich was vergessen

ja indemmfall würden die anderen Einträge stimmen,obwohl ich dein Lückentext nicht ganz lösen kann :)
Kleiner Tipp: Das zweite Wort kommt in der Definition von "Vektorraum" vor ... wenn Du dann keine weiteren Fragen hast, hak doch bitte das Thema ab.

mfg, fnordel



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Rene_21
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weil Q ein Körper ist???



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Juhuuu !!  😁



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Rene_21
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Ok :) , na dann sag ich mal allen vielen Dank für eure geile Hilfe,super Sache

mfg



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Rene_21 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rene_21 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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