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Funktionentheorie » Holomorphie » Konvergenzradius der Ableitung einer Potenzreihe ist gleich
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Universität/Hochschule Konvergenzradius der Ableitung einer Potenzreihe ist gleich
Mathesportler
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  Themenstart: 2014-11-07

Hallo, \ Ich betrachte eine komplexe Potenzreihe. Da diese holomorph ist auf ihrem Konvergenzradius hat die gliedweise Ableitung mindestens den gleichen Konvergenzradius. Wie kann ich noch begründen, dass der Konvergenzradus auch nicht größer werden darf? Gruß MS


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Max_Cohen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-11-07

Hi, die Potenzreihe von f' konvergiert gleichmäßig auf einer abgeschlossenen Kreisscheibe innerhalb des Konvergenzkreises. Dort kann man sie gliedweise integrieren und erhält eine holomorphe Funktion, deren Potenzreihe mit der von f übereinstimmt. Nun kann man nach deiner Voraussetzung den Radius der Kreisscheibe aber größer wählen als den Konvergenzradius der Potenzreihe von f.


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Mathesportler
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-07

\quoteon(2014-11-07 11:22 - Max_Cohen in Beitrag No. 1) Hi, e integrieren und erhält eine holomorphe Funktion, deren Potenzreihe mit der von f übereinstimmt. \quoteoff Hey, Danke. Aber woher weißt du, dass die Funktion die du durch das gliedweise integrieren erhalten hast holomorph ist? Gruß MS


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-07

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qzwru
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  Beitrag No.4, eingetragen 2014-11-07

Hallo Mathesportler, alternativ kannst du dir mal die Formel von Cauchy-Hadamard angucken und verwenden, dass $ lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1$.


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-07

Hey, Ja,danke, mit den Formeln für den Konvergenzradius würde das ganz leicht gehen. Aber ich frage mich eben, wie man das ohne machen kann. Gruß MS


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