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Funktionentheorie » Holomorphie » log |f| oberhalbstetig
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Universität/Hochschule J log |f| oberhalbstetig
Fenistil
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  Themenstart: 2014-11-27

Hallo, ich möchte beweisen, dass $u:=\log|f|$ oberhalbstetig ist für holomorphe f. Ich habe folgende Definition: Sei u eine Funktion auf einem topologischen Raum X. Dann ist u genau dann oberhalbstetig, wenn für alle $z\in X$ gilt: $\limsup\limits_{\zeta\rightarrow z}{u(\zeta)}\leq u(z)$. Ich würde mit einer Fallunterscheidung beginnen: Für f ohne Nullstellen ist u stetig, also oberhalbstetig. Für f mit Nullstellen, ist ja u an diesen Punkten im minus Unendlichen. Also steht rechts in der Ungleichung $-\infty$. Ist die Ungleichung dann trotzdem noch erfüllt? Ich komme mit dem limsup nicht so ganz klar.. Der müsste ja dann auch überall $-\infty$ sein. Ist das so?

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Fenistil
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-03

Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Wie kann ich begründen, dass der lim sup hier -$\infty$ ist?

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Buri
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  Beitrag No.2, eingetragen 2014-12-03

\quoteon(2014-12-03 10:11 - Fenistil in Beitrag No. 1) Wie kann ich begründen, dass der lim sup hier -$\infty$ ist? \quoteoff Hi Fenistil, wenn f(z) = 0 ist, dann ist f(ζ) --> 0 für ζ --> z. Daraus folgt u(ζ) --> -∞. Das heißt, der Limes superior ist sogar ein (uneigentlicher) Limes, und das bedeutet, als Abbildung vom Definitionsbereich von f in [-∞,∞), ausgestattet mit der Ordnungstopologie, ist u sogar stetig. Gruß Buri

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Fenistil
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-03

Danke danke danke danke :-)

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