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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Lösung einer Legendre-DGL
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Universität/Hochschule J Lösung einer Legendre-DGL
Macro
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  Themenstart: 2014-11-28

Hallo, ich habe die DGL $(1-x^2)y^{''}+2xy^{'}+n(n+1)y=0$ und soll zeigen, dass $P_n(x):=\frac{1}{2^n*n!}(\frac{d}{dx})^n(x^2-1)^n$ eine Lösung der DGL ist. Hierzu haben wir den Hinweis $z:= (x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2-1)^n$ zu betrachten und $\frac{d^{n+1}z}{dx^{n+1}}$ zu bestimmen, wenn wir in dem gefundenen Ausdruck $\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^2-1)^n$ durch y ersetzen würden, so würden wir eine weitere DGl erhalten. Alternativ könnte man $\frac{d}{dx}(x^2-1)^n$ in z berechnen und einen anderen Ausdruck für z erhalten. Was bringt es mir, wenn ich z habe? Gruß, Macro


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-11-29

Hallo Marco, das z hilft nicht, die (n+1)-te Ableitung von z wird gebraucht. Weil die Ableitung in einer ganz bestimmten Form berechnet werden muss (um das y einsetzen zu können), ergänze ich noch den Hinweis hier. Viele Grüße, Stefan


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Macro
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-02

Danke, für deine Hilfe. :-) Ich habe die Ableitungen von den "beiden z's" berechnet und die DGL nach dem Gleichsetzen der beiden Lösungen erhalten. Meine Idee war, wenn ich zeigen kann, dass die DGL aus der Lösung durch Umformen entsteht, dann habe ich alles gezeigt, aber ich habe noch nicht die $\frac{1}{2^{n}n!}$ in $P_n$ verwendet, was muss ich da noch machen, oder bin ich fertig?


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-12-02

Hallo, Macro, das ist doch nur ein Normierungsfaktor, der in einer homogenen Dgl. eigentlich egal ist. Wally


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Macro
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-02

Danke für den Hinweis. Gruß, Macro


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