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  Ladespannung am Kondensator über Integral |
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che
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 |  Themenstart: 2014-12-03
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Hallo,
ich habe einen Kondensator an eine Spannungsquelle von 20V, der Kondensator 1uF wird ohne Vorwiderstand betrieben (Der Anfangsspannungswert ist U=0). Nun meine Frage, über welches Integral soll ich denn die Ladespannung berechnen, kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Danke
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-03
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Moin
Ich verstehe deine Frage nicht so richtig. Geht es dir um die Integrationszeit und damit um die Integralgrenzen?
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che
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-03
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Hallo Berufspenner,
mir ist nicht ganz klar, wie ich den Spannungsverlauf am Kondensator über ein (welches?) Integral berechnen kann.
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| Beitrag No.3, eingetragen 2014-12-03
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Ok, es geht dir also wirklich um die Grundlegende Frage, wie du bei deiner Beschaltung den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung berechnen kannst. Wie sehen denn die grundsätzlichen Beziehungen am Kondensator aus (mathematischer Zusammenhang der Kondensatorspannung mit anderen Größen)?
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che
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-03
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ich steh ziemlich auf dem Schlauch. Integrale bei Kondensatorberechnung Kugel, Wickel usw mit Integral, ok.
Spannung am Kondensator, mit Integral, ich kann mich an nichts errinern.
Was ich gefunden habe:
du_C = U_q*dt/(R*C) => Ist dies Zielführend?
\tau= R*C, wie gehe ich damit um? R soll doch 0 sein...
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| Beitrag No.5, eingetragen 2014-12-03
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Am Kondensator liegt nur dann eine Spannung an, wenn er vorher von einem Strom geladen wurde. Fließt kein Strom, dann bleibt die Spannung konstant oder null. Der Ladestrom ergibt sich theoretisch aus der Ladespannung und dem Ladewiderstand. Da bei dir kein Ladewiderstand verbaut ist, würde man ja meinen, dass der Ladestrom unendlich groß wird. In der Praxis besitzt so ein reales Bauteil aber immer parasitäre Eigenschaften. Unter anderem auch parasitäre Widerstände über die Kontakte, es besteht über das Bauteil meist auch immer eine endliche Leitfähigkeit, etc. Diese Widerstände sind bei guten Kondensatoren zwar gering, aber dennoch vorhanden. Die sich ergebende Zeitkonstante $\tau = R\cdot C$ wird aber sehr klein sein. Am Anfang wird der Ladestrom also ziemlich groß werden. Er nimmt aber mit der Zeit auch deutlich ab, bis der Kondensator (vollständig) geladen wurde und kein Strom mehr fließt.
Allgemein gilt am Kondensator für die Spannung $\frac{dU_c}{dt} = \frac{1}{C}I$. Willst du also Wissen, welche Spannung an dem Kondensator anliegt, musst du das Integral $U_C = \int_0^T I dt$
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Ex_Mitglied_19661
 |  Beitrag No.6, eingetragen 2014-12-04
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\quoteon(2014-12-03 21:39 - che in Beitrag No. 4)
...
Was ich gefunden habe:
du_C = U_q*dt/(R*C) => Ist dies Zielführend?
\tau= R*C, wie gehe ich damit um? R soll doch 0 sein...
\quoteoff
Hallo che !
1. Ja, das ist zielführend !
2. R kann weder mathematisch noch physikalisch null sein !
Die Spannung am Kondensator kann nicht springen (von null auf einen endlichen Wert) !
Servus
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-06
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Ok,
das hab ich soweit verstanden.
mit U_C=int(I,dt,0,t)
Die Integrationsgrenzen sind mir bekannt, von 0 bis 20ms. aber die gehe ich mit I um? Es muss ja hinterher eine E-Funktion rauskommen und I ist ja auch zeitabhängig...
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.8, eingetragen 2014-12-06
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\quoteon(2014-12-06 10:44 - che in Beitrag No. 7)
Ok,
das hab ich soweit verstanden.
mit U_C=int(I,t,0,t)
\quoteoff
Das ist falsch ! Es fehlt der Faktor 1/C.
Zunächst ist erst mal die Spannung uc(t) am Kondensator zu ermitteln. Die Maschenregel ergibt dazu folgende DGL für uc(t):
$\displaystyle R\,C\,\frac{\mathrm d u_c(t)}{\mathrm d t}+u_c(t)=U_q\qquad\left(i(t)=C\,\frac{\mathrm d u_c(t)}{\mathrm d t}\right)$
:-o
Servus
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-06
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Ja, der Faktor 1/C fehlte.
Na super, gut das ich noch keine DGLs lösen kann...
Kann man die Gleichung durch einfache Integration lösen?
int(RC, _uC(t))= int(u_q - u_c(t),t)
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-06
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Oha,
ich glaub ich kann mir meine letzte Frage selber beantworten
=> Nein das geht so nicht, da kommt dann auch die E-Funktion ins Spiel, oder?
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.11, eingetragen 2014-12-06
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Hallo che,
die DGL ist recht einfach zu lösen:
$\displaystyle R\,C\,\frac{\mathrm d u_c(t)}{\mathrm d t}+u_c(t)=U_q\\\\R\,C\,\frac{\mathrm d u_c(t)}{\mathrm d t}=U_q-u_c(t)$
"Trennung der Variablen" ergibt:
$\displaystyle \frac{\mathrm d u_c}{U_q-u_c}=\frac{\mathrm d t}{R\,C}\quad \mid\cdot(-1)\;$
$\displaystyle \vdots$
Beide Seiten der Gleichung sind nun einfach zu integrieren. ;-)
Servus
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-06
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Soweit schaus glaub ich gut aus:
=> int(1/RC,t) = int(1/(u_q-u_c),u_c)
daraus wird:
t/RC = -ln(u_q-u_c) (konstante unterschlage ich..)
e^(t/RC) = -u_q+u_c
u_c = e^(t/RC) + u_q stimmt es hier noch?
Da stimmt doch was nicht, die ladefkt ist u_c=uq(1-e^(t/\tau))
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.13, eingetragen 2014-12-07
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Hey,
die Integrationskonstante zu unterschlagen ist natürlich ein grober Fehler. :-|
Die Größe der Integrationskonstante ergibt sich die Anfangsbedingung uc(0) = 0 !
Servus
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-07
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Hem, da mach ich ja alles falsch :-(
t/RC = -ln (u_q-u_c) + c so wäre das mit integrationskonstante, oder?
wenn ich jetzt c berechnen will dann ist u_c=0 (t=0) dann bekomme ich raus: 0=-ln(20)+c => c= 2.9957
trotzdem komm ich nicht auf die Ladefunktion, sondern auf u_c= u_q-e^(t/RC)-e^2.9957....
Langsam verzweifel ich daran
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.15, eingetragen 2014-12-07
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Um es zum Abschluß zu bringen:( :-( )
"Trennung der Variablen" ergibt:
$\displaystyle \frac{\mathrm d u_c}{U_q-u_c}=\frac{\mathrm d t}{R\,C}\quad \mid\cdot(-1)\;$
$\displaystyle -\frac{\mathrm d u_c}{U_q-u_c}=-\frac{\mathrm d t}{R\,C}$
$\displaystyle \ln |U_q-u_c|=-\frac{t}{R\,C}+\ln\,c$
$\displaystyle \ln |U_q-u_c|-\ln\,c=-\frac{t}{R\,C}$
$\displaystyle \ln\frac{|U_q-u_c|}{c}=-\frac{t}{R\,C}$
$\displaystyle \frac{|U_q-u_c|}{c}=e^{-t/R\,C}$
$\displaystyle U_q-u_c(t)=c\cdot e^{-t/R\,C}$
$\displaystyle u_c(t)=\cdots\;?$
$\displaystyle \vdots$
:-o
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