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Mathematik » Stochastik und Statistik » Wahrscheinlichkeitsdichte
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Kein bestimmter Bereich Wahrscheinlichkeitsdichte
Der_Rollenspieler
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  Themenstart: 2014-12-09

Hallo ihr Lieben, ich versuche gerade die Wahrscheinlichkeitsdichten für die Gleichverteilung auf z.B. einer Kreisscheibe oder Kugeloberfläche zu verstehen. Im Falle der Kreisscheibe mit Radius R, beschrieben mit den Koordinaten Radius $r$ und Winkel $\varphi$, sollte die Wahrscheinlichkeitsdichte doch wie folgt aussehen $f(r,\varphi) = \frac{1}{\pi R^2}$ Das ist also in der x-y-Ebene die Kreisscheibe und die Wahrscheinlichkeitsdichte geht mit konstanter Höhe $1/\pi R^2$ in die z-Richtung. Integriere ich nun darüber, so habe ich $\int\limits_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi \int\limits_0^R \mathrm{d}r\, f(r,\varphi) \, \mathrm{det}(J)$ In ebenen Polarkoordinaten gilt für die Funktionaldeterminante nun $\mathrm{det}(J) = r$. Insgesamt kommt gerade 1 heraus (das eingeschlossene Volumens des Zylinders). Jetzt möchte ich aber z.B. $r$ und $\varphi$ samplen und dabei zeigt sich leider, dass $r$ nicht gleichverteilt ist. Die saloppe Begründung ist meist: "Ja weil das differentielle Flächenelement von $r$ abhängt." Aber was heißt das? Wahrscheinlich bin ich gerade wieder angefixt durch den aktuellen Artikel. Ich würde nüchtern ansetzen mit $f(r,\varphi) = g(r)\cdot h(\varphi)$. Dabei kommt nun heraus, dass $h(\varphi) = \frac{1}{2\pi}$ gilt, weil der Winkel tatsächlich gleichverteilt auf dem Intervall $[0,2\pi]$ ist. Und für den Radius kommt scheinbar heraus $g(r) = 2r/R^2$. Aber wo steckt welche Information? Wenn ich $r$ und $\varphi$ einzeln samplen möchte, dann muss jeweils die Funktionaldeterminante schon eine Rolle spielen. Vielleicht ist mein Ansatz mit f oben auch falsch und insgesamt steht zwar dasselbe im Integral, aber die Begründung warum das da steht ist eine andere! Viele Grüße, Klaus.


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syngola
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-09

Hi, die Begruendung, dass das differentielle Flaechenelement von r abhaengt ist schon richtig. Dahinter steckt aber etwas was man mit einem heuristischen Ansatz leichter verstehen kann. Der Einfachheit halber koennen wir uns auf die Gleichverteilung auf der Einheits=Kreisscheibe beschraenken, also $R=1$. Die Dichte bezeichne ich mal mit $f_K$ und verwende je nach Zusammenhang kartesische oder polare Koordinaten. Klar ist, dass $f_K$ unabhaengig von der Koordinatendarstellung nur die Indikatorfunktion einer Kreisscheibe skaliert mit $\pi$ ist (deswegen ist Deine obige Darstellung der Dichte nicht richtig, es fehlt die Indikatorfunktion). Die genaue Darstellung haengt aber von den gewaehlten Koordinaten ab. In kartesischen Koordinaten waere der Ansatz $f_K(x,y)=g(x)h(y)$ natuerlich falsch, denn die Festlegung der x-Koordinate hat direkten Einfluss auf die Auswahl von y, wegen der Bedingung $x^2+y^2\leq1$. Die Koordinaten haben zwar die gleiche Verteilung, sind unkorreliert, aber nicht unabhaengig. In Polarkoordinaten sieht die Sache ganz anders aus. Die gleichverteilte Auswahl eines Winkels aus $(0,2\pi]$ und eines gleichverteilten Radius kann nicht die Gleichverteilung auf der Kreisscheibe ergeben. Man kann sich das folgendermassen klarmachen. Betrachte die Dichte $f_K(r,\phi)$. Nehmen wir nun an die Koordinaten waeren unabhaengig und gleichverteilt, so ergaebe sich daraus $f_K(r,\phi)=g'(r)h'(\phi)$, wobei $g'(r)$ die Indikatorfunktion des Intervalls $[0,1]$ sei und $h'(\phi)$ die Indikatorfunktion von $[0,2\pi]$ (jeweils skaliert, so dass das Integral darueber 1 ergibt). Eine Samplingmethode waere dann ein paar Winkel zu samplen und zu jedem Winkel ein paar Radien. Diese Methode erzeugt dann also Punkte entlang einer Richtung. Nun ist aber der Abstand zwischen den gesampelten Punkten entlang einer Richtung im Vergleich zu einer anderen abhaengig von der Entfernung zum Mittelpunkt. Zwei Punkte nahe des Kreis-Randes haben dann einen groesseren Abstand als zwei die nahe dem Ursprung liegen. Was also passiert ist, dass sich die Samples um den Kreismittelpunkt ansammeln werden. Das ergibt sicherlich keine Gleichverteilung. Die Dichte der Radiuskomponente ist leicht zu bestimmen, es ist lediglich der Umfang eines Kreises mit Radius r geteilt durch den Skalierungsfaktor der gemeinsamen Dichte, d.h. $g'(r)=\begin{cases}2r,& r\in(0,1)\\0&sonst\end{cases}$. Mithin also keine Gleichverteilung. Fuer die Randdichte des Winkels ergibt sich dann tatsaechlich eine Gleichverteilung mit $h'(\phi)=\frac1{2\pi}$. Nun ist aber die gemeinsame Dichte der polaren Koordinaten $f_K(r,\phi)=\frac{r}{\pi}\mathds{1}_{K}(r,\phi).$ Das ergibt sich nach der von Dir oben erwaehnten Koordinatentransformation. Die Koordinaten sind in diesem Fall sogar unabhaengig, und damit natuerlich unkorreliert. Zusammenfassend bleibt hier die Beobachtung, dass die Uabhaengigkeit der Koordinaten von der gewaehlten Koordinatendarstellung abhaengt. Es ist also die Geometrie der Menge auf der die Gleichverteilung definiert wird, die die Unabhaengigkeit der Randverteilungen bestimmt. Die Verbindung zu Martins Artikel stelle ich mir so vor (ich habe den Artikel allerdings nicht in Gaenze gelesen, eigentlich nur den Disclaimer). Die Dichte $f_K$ der Gleichverteilung auf der Kreisscheibe ist ohne Angabe der Koordinatenabhaengigkeit erstmal eine heuristisch voellig verstaendliches Hilfsmittel, das aber erst mit Praezisierung der zu verwendeten Koordinaten ueberhaupt einen mathematisch praezisen Sinn bekommt. Mir scheint fast, $f_K$ ist die Menge aller solcher koordinatenabhaengiger Funktionen. Gruss, Peter PS: Interessant waere jetzt eine Menge zu finden, fuer die die Koordinaten sowohl in kartesischer als auch polarer Darstellung unabhaengig sind. Gibt es eine solche Menge ueberhaupt?


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