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Physik » Schwingungen und Wellen » Erzwungene Schwingungen eines gedämpften Feder-Masse-Systems
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Autor
Universität/Hochschule Erzwungene Schwingungen eines gedämpften Feder-Masse-Systems
Cohen
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.05.2014
Mitteilungen: 326
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-01-13


Hallo, ich habe die Aufgabe:
Ein Gegenstand der Masse m=2kg schwingt an einer Feder mit der Federkonstanten <math>k=400\frac{N}{m}</math>. Die Dämpfungskonstante der Schwingung ist <math>b=4\frac{kg}{s}</math>. Auf das System wirkt eine sinusförmige antreibende Kraft, deren höchster Wert <math>F_0=10N</math> beträgt und deren Kreisfrequenz <math>w_f=10\frac{rad}{s}</math> beträgt.
a) Wie groß ist die Amplitude der Schwingung? Das System ist eingeschwungen
b) Welche Resonanzfrequenz hat das System?
c) Bestimmen Sie die Amplitude der Schwingung im Resonanzfall und die Halbwertsbreite der Energie <math>\Delta\omega_E</math>. Welche Güte <math>Q</math> besitzt das System?

Meine Ideen:

a) Die Gleichung lautet <math>F=-kx-bv+F_0\sin(\omega t)</math>
Also <math>\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=F_0\sin(\omega t)</math> Wir haben also eine DGL zweiter Ordnung.

Die Lösung der DGL müsste <math>x(t)=A\cos(\omega t+\phi)</math> wobei <math>A=\frac{\frac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega^2-w_0^2)^2+(\frac{b\omega}{m})^2}}</math> sein.

Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher aber <math>\omega_0</math> müsste die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung sein also <math>\omega_0^2=\frac{k}{m}=200\frac{rad}{s}</math> und <math>\omega</math> die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung also <math>\omega=10\frac{rad}{s}</math>.

Ich erhalte dann für die Amplitude: <math>A=0,05</math>

Passt das soweit?

Danke!  😄



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Cohen
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.05.2014
Mitteilungen: 326
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-14


Hat noch jemand Lust einmal drüber zu schauen?  😄



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MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2015-01-14


Hallo Cohen,
1. zur DGL: wenn Du links überall durch m teilst, musst Du es rechts auch tun. Da müsste also <math>\frac{F_0}{m}</math> stehen. Da die Formel für die Amplitude stimmt, war das jetzt wohl nur ein Übertragungsfehler.
2. Für die Resonanzfrequenz des ungedämpften Systems gilt <math>\omega_0^2=200\frac{\text{rad}^2}{\text{s}^2}</math> (!). <math>\omega_0</math> ist also die Wurzel daraus, sprich 14,142rad/s.
3. Um die Amplitude zu berechnen, musst Du für <math>\omega</math> natürlich die Anregungsfrequenz 10rad/s einsetzen.
4. Die Resonanzfrequenz des gedämpften Systems bekommst Du, indem Du die Formel der Amplitude nach <math>\omega</math> ableitest und das Maximum bestimmst. Es ist nicht gesagt (aber möglich), dass dabei 10rad/s herauskommt, aber da steht nicht ausdrücklich, dass die Anregung aus Aufgabenteil a) in Resonanz stattfindet.
5. Hast Du die Resonanzfrequenz des gedämpften Systems bestimmt, kannst Du auch die Amplitude der Schwingung ausrechnen, wenn die Kraftamplitude immer noch 10N ist. Für die Halbwertsbreite musst Du noch die beiden Werte für <math>\omega</math> bestimmen, wo die Amplitude die Hälfte von der Resonanzamplitude ist. Die Halbwertsbreite ist dann die Differenz zwischen diesen beiden Kreisfrequenzen.
6. Die Güte auszurechnen bekommst Du schon hin.  😁

Ciao,

Thomas




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Cohen
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.05.2014
Mitteilungen: 326
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-16


Hi Thomas, ich habe jetzt nochmal nachgerechnet bzw. weiter gerechnet.

a) Für die Amplitude der Schwingung erhalte ich <math>A=0,05m</math>.
Dazu habe ich <math>A=\frac{F_0/m}{(\omega^2-\frac{k}{m})^2+(\frac{b\omega}{m})^2}</math> eingesetzt.
b) Für die Resonanzfrequenz des ungedämpften Systems erhalte ich <math>\omega=14,142\frac{rad}{s}</math> mit <math>\omega^2=\frac{k}{m}</math>
Für die Resonanzfrequenz des gedämpften Systems erhalte ich <math>\omega=14,106\frac{rad}{s}</math> mit <math>\omega^2=\frac{k}{m}-(\frac{b}{2m})^2}</math>

Passt das soweit?  😄 <math></math>



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2015-01-16


Hallo Cohen,
a) Um genau zu sein, ich bekomme 0,049029m. Hast Du gerundet? Der Wert ist nicht glatt. (Die Genauigkeit von 6 Stellen nach dem Komma ist natürlich übertrieben. Es geht mir nur darum, zu sehen, ob Du die richtigen Zahlen eingesetzt hast). Du hast außerdem das Wurzelzeichen über dem Nenner vergessen, aber der Zahlenwert deutet darauf hin, dass Du sie korrekt berechnet hattest. Bitte versuch, solche Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
b) Flüchtigkeitsfehler, die zweite: Du meinst natürlich <math>\omega_0</math>, nicht <math>\omega</math>. Der Zahlenwert ist korrekt, den hatte ich ja schon angegeben.
Die Formel für die Resonanzfrequenz stimmt nicht. Sie muss lauten:

<math>\omega^2=\frac km-\frac{b^2}{2m^2}</math>

Mit anderen Worten: die 2 im Nenner gehört nicht mit dem m zusammen in eine Klammer. Dadurch ist der Zahlenwert auch nur 14,071rad/s.

Ciao,

Thomas



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Cohen
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Dabei seit: 01.05.2014
Mitteilungen: 326
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-16


Wenn ich bei b) Omega bestimmt habe muss ich das nich nocht in <math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math> einsetzen? Irgendwie stört mich dass das in dem Wort Resonanz"frequenz" das Wort Frequenz steckt aber man doch <math>\omega</math> berechnet?

Ich habe dann für die Resonanzfrequenz des gedämpften Systems <math>\omega=14,071\frac{rad}{s}</math>.

Wie kann ich damit denn die Amplitude bestimmen? Eventuell mit
<math>x=Ae^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\phi)</math>. Wenn ich <math>x=0</math> setze und nach <math>A</math> auflöse war mein erster Gedanke?

<math></math>



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
MontyPythagoras
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2015-01-19


Hallo Cohen,
jetzt bist Du auf dem falschen Dampfer. Wie kommt denn die e-Funktion da rein? Das System soll doch nicht ausschwingen, es wird durch die sinusförmige Kraft angeregt und schwingt daher auch weiterhin mit der Amplitude A sinusförmig vor sich hin. Du hast doch in Deinem ersten Beitrag schon die Formel für die Amplitude A genannt. Da musst Du jetzt nur das gefundene <math>\omega</math> einsetzen, und schon hast Du die Resonanz-Amplitude.
Bezüglich Deiner Verwirrung wegen des Begriffs "Frequenz": Du hast recht, wenn von Resonanzfrequenz die Rede ist, müsstest Du im Normalfall noch durch <math>2\pi</math> teilen, und die Frequenz in "Hertz" angeben. <math>\omega</math> ist ja nur die >>Kreis<<frequenz. (In meinen Augen ein unglücklicher Begriff).

Ciao,

Thomas



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