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Funktionentheorie » Holomorphie » Komplexe Differenzierbarkeit, Wurzelfunktion
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Universität/Hochschule Komplexe Differenzierbarkeit, Wurzelfunktion
stoffy
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  Themenstart: 2015-01-13

Guten Abend, ich sitze hier an zwei Aufgaben zur komplexen Diff-barkeit. Beide Funktionen sind von C nach C. 1) Untersuchen auf komplexe Diff-barkeit: $f(z) = \sqrt z$ Hier habe ich versucht, das ganze auf die Cauchy-Riemannschen DGL zu führen, in dem ich f so zerlegt habe: $f(z) = (x^2+y^2)^\frac{1}{4} (\cos (\frac{1}{2} arctan(\frac{y}{x})) + i \sin (\frac{1}{2} arctan(\frac{y}{x})))$. Dann erhalte ich zwei reellwertige Funktionen $u$ und $v$, die ich dann partiell differenziere, und alle Bedingungen aus den CRDGL sind erfüllt, außer im Punkt (0,0). Stimmt das so, oder gibt es einen besseren Lösungsweg? 2) Die andere Aufgabe ist mMn ähnlich. Ich soll zeigen, dass für ein natürliches $k>1$ keine in einer offenen Umgebung von $0 \in \mathbb{C}$ definierte holomorphe Funktion $f$ gibt mit $(f(z))^k = z$. Ich habe dann gedacht, dass f(z) die Gleichung des Typs $w^k=z$ lösen soll, und wenn ich den Lösungsweg von oben anwende, d.h. $f(z) = (x^2+y^2)^\frac{1}{k} (\cos (\frac{1}{k} arctan(\frac{y}{x})) + i \sin (\frac{1}{k} arctan(\frac{y}{x})))$, dann komme ich wieder auf das gleiche Problem bei (0,0). Klingt das plausibel, oder liege ich da falsch?


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 17:38 - stoffy im Themenstart) 1) Untersuchen auf komplexe Diff-barkeit: $f(z) = \sqrt z$ 2) ... $f(z) = (x^2+y^2)^\frac{1}{k} (\cos (\frac{1}{k} arctan(\frac{y}{x})) + i \sin (\frac{1}{k} arctan(\frac{y}{x})))$ ... Klingt das plausibel, oder liege ich da falsch? \quoteoff Hi stoffy, 1) Das kann nicht die ganze Aufgabe sein. Immerhin geht aus deinem Beweis hervor, dass diese Funktion wirklich für x > 0 komplex differenzierbar ist. Für alle anderen x stimmt deine Formel leider nicht. 2) Auch diese Formel ist nur brauchbar, wenn x > 0 ist. Die Aufgabenstellung ist allerdings wesentlich ausführlicher als im Fall 1) und lässt keinerlei Zweifel offen. Deine Überlegung führt nicht zum Ziel. Sie ist plausibel, aber sie nützt nichts. Es geht um etwas ganz Anderes. Jeder wie auch immer geartete Ansatz muss zuerst die Voraussetzung beachten, dass die Funktion f auf einer Umgebung von 0 definiert und holomorph sein soll (ob diese Umgebung offen ist, spielt keine Rolle, denn das lässt sich nachträglich erzwingen). Also muss f(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... eine in dieser Umgebung konvergente Potenzreihe sein. Die k-te Potenz dieser Potenzreihe muss z ergeben und weiter nichts, das heißt, es muss die Potenzreihe 0 + z + 0 + 0 + ... herauskommen. Durch Koeffizientenvergleich stellt man aber fest, dass das nicht klappen kann, das ist die grundlegende Idee. Es gibt auch andere Beweismöglichkeiten, die auf topologischen Überlegungen beruhen, aber die Vorbereitungen dafür sind komplizierter. Gruß Buri


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stoffy
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13

Hallo Buri, danke erstmal für die Antwort. Wir haben gerade mit der komplexen Diff-barkeit begonnen und haben dies mit den Potenzreihen noch nicht gehabt in der VL. Also ich vermute, ich soll bei der Aufgabe 2) ohne die Potenzreihen auskommen. Wir hatten bisher nur die klassische Definition der komplexen Diff-barkeit und die CRDGL betrachtet. Zu 1): es war auch nur eine Teilaufgabe. Es gab einige Funktionen, die man auf komplexe Diff-barkeit untersuchen soll. Durch die CRDGL kam ich dann auf das Ergebnis, dass die Funktion überall außer (0,0) diff-bar ist. Ansonsten könnte ich den Grenzwert berechnen: $lim_{z \rightarrow z_0} \frac{\sqrt z - \sqrt z_0}{z-z_0} = \frac{1}{2 \sqrt{z_0}}$. Dann hätte ich wieder das Problem bei 0.


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 18:29 - stoffy in Beitrag No. 2) ... Durch die CRDGL kam ich dann auf das Ergebnis, dass die Funktion überall außer (0,0) diff-bar ist. \quoteoff Hi stoffy, dieses Ergebnis stimmt aber leider nicht. Gruß Buri


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stoffy
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13

OK, dann wieder von vorne: Zu 1): Ich habe nun die genaue Definition von $f(z) = \sqrt z$ rausgesucht, und zwar als $e^{\frac{1}{2} \ln z}$ (wusste nämlich nicht, dass die Funtkion so definiert ist). Über den Logarithmus im Komplexen habe ich gelesen, dass er auf dem Gebiet $\mathbb C\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\} $ holomorph ist. Führt das nun in die richtige Richtung, oder liege ich da wieder falsch? Über einen Gedankenanstoß würde ich mich freuen.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Buri
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  Beitrag No.5, eingetragen 2015-01-14

\quoteon(2015-01-13 23:39 - stoffy in Beitrag No. 4) ... Führt das nun in die richtige Richtung ...? \quoteoff Hi stoffy, ja, so ist es richtig. Gruß Buri


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