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Funktionentheorie » Holomorphie » Satz von Rouché
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Universität/Hochschule J Satz von Rouché
Neu123
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  Themenstart: 2015-01-13

Bestimme die Anzahl der in der Einheitskreisscheibe liegenden Wurzeln folgender Gleichungen. a) z^8-5z^5-2z+1=0 b) e^z-4z^n+1=0 Könnte das jemand anhand eines Beispiel erklären was hier zu tun ist?


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egndgf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-01-13

Hallo, der Satz von Rouche besagt, dass sich die Anzahl an NST (mit Vielfachheit) nicht ändert, wenn man eine Funktion ein klein wenig stört, d.h. eine kleine Funktion dazuaddiert (was "klein" in diesem Zusammenhang bedeutet, steht in der Voraussetzung des Satzes von Rouche). Wenn du also deine Funktion als Summe einer (holomorphen) Funktion, von der du die Anzahl an NST in der Einheitskreisscheibe kennst, und einer gegenüber der ersten Funktion kleinen Funktion schreiben kannst, kannst du die Anzahl der Nullstellen deiner Funktion angeben. MfG egndgf


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Neu123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13

Ok, ich versuchs mal, bitte um Feedback g(z)=z^8-2z+1 f(z)=-5z^5 g(z)+f(z) für abs(z)<=1 abs(g(z))=abs(z^8-2z+1)<=abs(z)^8+2abs(z)+1<=4


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egndgf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-01-13

Hallo, für welche z soll diese Ungleichung gelten? Und wie viele NST sind es nun? MfG egndgf


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Neu123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 22:05 - egndgf in Beitrag No. 3) Hallo, für welche z soll diese Ungleichung gelten? Und wie viele NST sind es nun? MfG egndgf \quoteoff Für z=1 soll diese Ungleichung gelten und es gibt 5 NST.


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egndgf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2015-01-13

Hallo, die Gültigkeit für z=1 ist nicht genug. MfG egndgf


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Neu123
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 22:22 - egndgf in Beitrag No. 5) Hallo, die Gültigkeit für z=1 ist nicht genug. MfG egndgf \quoteoff Also muss man es für allle -1<=abs(z)<=1 zeigen? Wenn ja, wie?


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Buri
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  Beitrag No.7, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 22:28 - Neu123 in Beitrag No. 6) ... für allle -1 ≤ |z| ≤ 1 zeigen? \quoteoff Hi Neu123, Beträge sind immer ≥ 0, also passt die -1 nicht zu solch einer Ungleichung. |z| ≤ 1 ergibt den gesamten Einheitskreis, und das kann es nun auch nicht sein. Du musst dich an den Voraussetzungen des Satzes orientieren. Selbstverständlich ist das zwingend erforderlich, denn du möchtest den Satz ja anwenden, und nicht durch Raten in Verbindung mit der Rückfrage "stimmt das so?", die solange wiederholt wird, bis es passt, zum Ziel kommen. Gruß Buri


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Neu123
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 22:38 - Buri in Beitrag No. 7) \quoteon(2015-01-13 22:28 - Neu123 in Beitrag No. 6) ... für allle -1 ≤ |z| ≤ 1 zeigen? \quoteoff Hi Neu123, Beträge sind immer ≥ 0, also passt die -1 nicht zu solch einer Ungleichung. |z| ≤ 1 ergibt den gesamten Einheitskreis, und das kann es nun auch nicht sein. Du musst dich an den Voraussetzungen des Satzes orientieren. Selbstverständlich ist das zwingend erforderlich, denn du möchtest den Satz ja anwenden, und nicht durch Raten in Verbindung mit der Rückfrage "stimmt das so?", die solange wiederholt wird, bis es passt, zum Ziel kommen. Gruß Buri \quoteoff Also wenn gesagt wird in der Einheitskreisscheibe, dann betrachte ich abs(z)<1?


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egndgf
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  Beitrag No.9, eingetragen 2015-01-13

Hallo, wie lautet der Satz von Rouche? MfG egndgf


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Neu123
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\quoteon(2015-01-13 22:51 - egndgf in Beitrag No. 9) Hallo, wie lautet der Satz von Rouche? MfG egndgf \quoteoff Seien G \subset\ C ein Gebiet, f, g holomorph in G und \gamma ein einfach geschlossener Integrationsweg, der mistsamt seinem Innengebiet in G liegt. Es sei abs(f(z)-g(z))


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Buri
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  Beitrag No.11, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 22:58 - Neu123 in Beitrag No. 10) für alle z in abs(\gamma). \quoteoff Hi Neu123, Mit |γ| ist der Rand des Gebietes gemeint, in dem man die Nullstellen zählen möchte. Nach der vorliegenden Aufgabenstellung muss dies also der Einheitskreis |z| = 1 sein. Gruß Buri


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Neu123
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\quoteon(2015-01-13 22:59 - Buri in Beitrag No. 11) \quoteon(2015-01-13 22:58 - Neu123 in Beitrag No. 10) für alle z in abs(\gamma). \quoteoff Hi Neu123, Mit |γ| ist der Rand des Gebietes gemeint, in dem man die Nullstellen zählen möchte. Nach der vorliegenden Aufgabenstellung muss dies also der Einheitskreis |z| = 1 sein. Gruß Buri \quoteoff Ok, aber dann passt die Ungleichung?


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Buri
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  Beitrag No.13, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 23:07 - Neu123 in Beitrag No. 12) Ok, aber dann passt die Ungleichung? \quoteoff Hi Neu123, ich weiß nicht, von welcher Ungleichung du sprichst. Die Ungleichung im Beitrag #8 passt jedenfalls nicht. Gruß Buri


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Neu123
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13

\quoteon(2015-01-13 23:14 - Buri in Beitrag No. 13) \quoteon(2015-01-13 23:07 - Neu123 in Beitrag No. 12) Ok, aber dann passt die Ungleichung? \quoteoff Hi Neu123, ich weiß nicht, von welcher Ungleichung du sprichst. Die Ungleichung im Beitrag #8 passt jedenfalls nicht. Gruß Buri \quoteoff Hey, nein ich meine die in Beitrag #2. Die Abschätzung.


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egndgf
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  Beitrag No.15, eingetragen 2015-01-13

Hallo, ja. Wobei rechts sogar Gleichheit stehen könnte. (Hätte du da übrigens sofort ein Gleichheitszeichen gesetzt, hätte ich angenommen, dass du den Satz von Rouche wirklich kennst und hätte nichts beanstandet.) Die Zerlegung in $-5z^5-2z$ und $z^8+1$ hätte übrigens auch zum Ziel geführt. MfG egndgf


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Neu123
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13

Hey, danke euch.


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