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Universität/Hochschule Fundamentalsystem einer DGL mit Potenzreihenansatz
NumerikNiete
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  Themenstart: 2015-02-07

Hey, zur Prüfungsvorbereitung schaue ich mir noch einmal alte Übungsaufgaben an, und bei einer habe ich noch eine kleine Frage (habe leider nicht die vollständige lösung). geg.: DGL xy''-(1+x)y'+y=0 ges.: FS mit Potenzreihenansatz. Mein Ansatz war $ y=\sum_{n=0}^\infty a_{n}x^n$ folglich $y' = \sum_{n=0}^\infty na_{n}x^{n-1}$ und $y''=\sum_{n=0}^\infty n(n+1)a_{n}x^{n-2}$ Eingesetzt und umgestellt erhalte ich schliesslich $ \sum_{n=0}^\infty ((n+1)(n+2)a_{n+2}-(n+2)a_{n+2}-(n+1)a_{n+1}+a_{n+1})x^{n+1}+a_0-a_1=0 $ Mit Koeffizientenvergleich folgt nun: a_0 = a_1 und $ a_{n+2}= \frac{a_{n+1}}{n+2} $ Um ein FS zu erhalten setzen wir a_0=a_1=1 und erhalten(nach überprüfen von n=0,1,2): $a_n= \frac{1}{n!}$ Folglich ist $y=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n$ eine Lösung. Hier nun die Frage: Um ein FS zu bilden benötigt man für gewöhnlich 2 Lösungen. Könnt ihr mir die zweite verraten, bzw. einen heissen Tipp geben, wie ich von selbst drauf komme? Danke im voraus, eure NumerikNiete


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-02-08

\ Hallo NumerikNiete, Der Lösungsweg zum Ergebnis a_(n+2) = a_(n+1)/(n+2) enthält noch einen Fehler, bei dem man zu einer weiteren Lösung abzweigen kann. Viele Grüße, Stefan


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