| Autor |
 Lösungsraum 2-dimensionaler DGL |
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holzkopf13
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.06.2013
Mitteilungen: 213
 |  Themenstart: 2015-03-09
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Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Ich habe die DGL (2D):
$[-D\nabla^2+ \lambda]\phi(x)=0$ gelöst.
Ich erhalte allerdings als Lösung:
$\phi(x,y)=c_1 exp(-\lambda[x+y])+c_2exp(\lambda[x+y])$
Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob das der gesamte Lösungsraum ist. Sollte der Lösungsraum hier 4 dimensional sein?
Wenn ja, wie ermittle ich die fehlenden Lösungen?
Gruß Holzkopf13
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ElMachete
Senior 
Dabei seit: 08.12.2009
Mitteilungen: 727
| Beitrag No.1, eingetragen 2015-03-09
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Hi holzkopf13
Die Lösungen sind von der Form $\exp\left(\sqrt{\frac{\lambda}{D}}(\pm x \pm y) \right)$ unter der Voraussetzung $D,\lambda > 0$, sprich 4 Lösungen.
Cheers
Dominik
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holzkopf13
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.06.2013
Mitteilungen: 213
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-09
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Hi ElMachete,
Danke für deine Antwort. Ergibt Sinn, was du sagst. Jedoch löst das ein weiteres Problem noch nicht:
Bei dieser Gleichung handelt es sich um die Diffusionsgleichung für Licht. Lambda ist eigentlich ein Absorptionskoeffizient ($\mu_a$). Da dieser auch gleich null sein kann, sollte theoretisch der Lösungsraum auch die Lösung für $\lambda=0$ enthalten.Die DGL wäre in diesem Fall dann einfach:
$-D\nabla^2 \phi(x,y)=0$
Zwar wird für $\lambda=0$ die von dir angegebene Lösung eine Konstante, also die 4 e-funktionen eins und die Vorfaktoren zusammen ergeben eine neue Konstante und dies ist auch eine Lösung der DGL, jedoch sind dies nicht alle, denn:
$\phi(\vec{x})=\vec{a} \cdot \vec{x}+c$
sollte ja auch eine Lösung sein. Die ist aber nicht im Lösungsraum.
Wie kann das sein?
Viele Grüße und schon mal Danke schön,
Holzkopf13
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ElMachete
Senior
Dabei seit: 08.12.2009
Mitteilungen: 727
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-03-09
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Die Frage wie die Lösungen einer parameterabhängigen Differentialgleichung von diesen Parametern abhängen halte ich für eine schwierige (und interessante!) Frage die ich dir leider nicht beantworten kann. Das Wesen eines Differentialoperators mit konstanten Koeffizienten hängt wesentlich von den Koeffizienten ab, also würde ich keine allgemeine Antwort erwarten.
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holzkopf13
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.06.2013
Mitteilungen: 213
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-09
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Hi,
ja, das habe ich befürchtet. Hatte nur gedacht, dass es möglich sein sollte eine Lösung zu finden, da das ja nur ein Spezialfall des bereits gelösten Falles ist.
Danke auf jeden Fall schon mal. Vielleicht findet sich ja noch Jemand, der dazu was sagen kann.
Meine folge Frage wäre dann: Wie stehts mit der Dimension des Lösungsraums? Ist der dann Ordnung*Dimension?
Gruß Holzkopf13
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holzkopf13
Ehemals Aktiv 
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Mitteilungen: 213
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-11
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Hi,
es könnte ja noch Jemanden interessieren. Das Problem löst sich, wenn man eine ortsabhängige Amplitude annimmt.
Gruß Holzkopf13
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9658
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.6, eingetragen 2015-03-11
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Ich verstehe überhaupt nicht, wo das $y$ herkommt - in der Ausgangsgleichung steht keines.
Wenn $\nabla^2$ der Laplaceoperator in zwei Dimensionen ist, besteht für $\lambda=0$ die Lösungsmenge aus dem unendlichdimensionalen Raum der harmonischen Funktionen.
Wally
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holzkopf13
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.06.2013
Mitteilungen: 213
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-11
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Hallo Wally,
Das liegt dran, dass ich ganz am Anfang $\phi(\vec{x})$ gemeint war. Also $\phi: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$.
Oder hab ich mich trotz allem irgendwo vertan?
Gruß Holzkopf
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9658
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.8, eingetragen 2015-03-11
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In diesem Fall sollte der Lösungsraum (ohne Randbedingungen) ebenfalls unendlichdimensional sein.
Wally
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