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  Selbstfinanzierende Portfoliostrategie / Black-Scholes |
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Johannes82
Junior 
Dabei seit: 14.03.2015
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2015-04-07
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Hallo zusammen,
nachdem mir das erste Mal schon so gut geholfen worden ist, möchte ich es noch einmal probieren. Ich habe ein Verständnis bei der Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung über den Weg der selbstfinanzierenden Portfoliostrategie. Zunächst wird konstatiert, dass die Netto-Investition in eine Option (bei mir das Eigenkapital als Option mit dem Unternehmenswert als Basiswert), den Basiswert und eine risikolose Geldanlage in jedem Zeitpunkt Null beträgt, d. h.
H(t)=a(t)*E(t)+b(t)*V(t)+M(t)=0
Wobei:
E = Eigenkapital als Option auf den Unternehmenswert
V = Unternehmenswert als Basiswert
M = risikolose Anlage
a,b = Anzahl der Anteile an Eigenkapital bzw. Unternehmenswert
Die Anwendung von Ito's Lemma auf die erste Gleichung ergibt:
dH=adE+bDV+rMdt+(Eda+Vdb+dM+dEda+......)
Mit r als risikolosem Zinssatz
So, das Kennzeichen der selbstfinanzierenden Strategie ist, dass die Klammerterme - welche als Kapitalflüsse aus dem Verkauf/Kauf der einzelnen Instrumente interpretiert werden können - sich zu Null summieren. D. h. es fließt kein Kapital und es gilt dann:
dH=adE+bDV+rMdt
Mein Problem ist, dass an dieser Stelle von mehreren Herleitungen noch keine Arbitragefreiheit des Marktes postuliert wird. D. h. ja eigentlich, V könnte ohne gleichwertige Änderung des Optionswertes E
zunehmen.
Hinsichtlich der ersten Gleichung würde das nach dem Ende dieses Zeitschrittes implizieren, dass
b(t)*V(t)
wegen dem gestiegenen V zugenommen hat.
Dann ist aber
H(t)=a(t)*E(t)+b(t)*V(t)+M(t)=0
nicht mehr für alle t erfüllt
Nach der Einführung der Arbitragefreiheit gilt dann:
dH=0 und alles ist klar, weil der Portfoliowert in jedem Zeitpunkt t gleich Null ist.
Müsste also eine selbstfinanzierende Strategie nicht schon
dH=0
statt
dH=adE+bDV+rMdt
fordern?
Vielen Dank für Anregungen!
Schöne Grüße, Johannes
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3819
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.1, eingetragen 2015-05-24
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Hallo Johannes,
so ganz klar ist mir leider nicht, worauf Du hinauswillst bzw. was Deine Frage ist; auch scheint mir die Beschreibung Deiner Anlagestrategie nicht vollständig (es ich nicht möglich, mehr oder weniger als genau eine Einheit der risikolosen Anlage zu halten?).
Vielleicht beschreibe ich einmal das normale BS-Setting (unter weitgehender Verwendung Deiner Notation, sofern ich sie verstehe) und Du kannst dann mitteilen, inwiefern es Deiner Fragestellung entspricht.
Es ist $r>0$ ein risikoloser und zeitlich konstanter Zinssatz. Die risikolose Anlage genügt dann dem Preisprozess $M_t = \exp[rt]$. Am Markt wird genau ein risikobehaftetes Anlagegut mit Preisprozess $V_t$ gehandelt. Eine Anlagestrategie $\phi : [0,T] \mapsto \mathbb{R}^2$ mit $\phi_t = (a_t, b_t)$ beschreibt nun, welchen Anteil der beiden Produkte ein Portfolio zu einem Zeitpunkt $t$ enthält. Der Wert des Portfolios ist dann $H_t = a_tS_t + b_tM_t$. Betrachtet man zu jedem $X_t$ die diskontierten Größen $\hat{X}_t = X_t / M_t$, so nennt man eine Handelsstrategie dann selbstfinanzierend, wenn $\hat{H}_t = \hat{H}_0 + \int_0^t a_s d\hat{S}_s$ bzw. $d\hat{H}_t = a_t d\hat{S}_t$ gilt, d.h. wenn sich der (diskontierte) Wert des Portfolios nur durch Wertänderungen der risikobehafteten Anlage ändert.
Bis hierher hat dies alles überhaupt nichts mit Arbitrage-Freiheit, Ito's Lemma oder dem Optionspreis zu tun.
lg, AK.
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Johannes82
Junior
Dabei seit: 14.03.2015
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-31
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Hallo AnnaKath,
herzlichen Dank. Ja, du hast damit meine Frage beantwortet.
Die Darstellung war vielleicht etwas unklar, weil M(t) einen "Geldbetrag" meint, während sich a(t) und b(t) auf "Stückzahlen" beziehen. Dabei handelt es sich nur um eine bequemere Darstellung zur anschließenden Beschreibung der optimalen Hedge-Ratio.
Wie du schon schreibst, kann sich der Wert des Portfolios bei der selbstfinanzierenden Strategie durch Wertänderungen der risikobehafteten Assets ändern.
In der Literatur wurde aber manchmal (nicht immer) postuliert, dass bei einer selbstfinanzierenden Strategie der Wert des Portfolios in jedem Zeitpunkt Null beträgt.
Diese Aussage lässt aber keine Wertänderungen zu und bezieht neben einer selbstfinanzierenden Strategie - meinem Verständnis nach - auch schon die erst nachfolgende Argumentation von Risikolosigkeit und Arbitragefreiheit des betrachteten Portfolios mit ein.
Vielen Dank nochmal und beste Grüße
Johannes
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