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  Schaltvorgänge - Netzwerktheorie |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2015-06-04
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hey,
mich interessiert der Strom i_c(t=0^+)
naja. Bei t=0 werden die beiden Schalter geschlossen. Bei t<0, im stationären Zustand also, fließt wohl kein Strom, da der Kondensator durch einen Leerlauf ersetzt werden kann und auch die beiden Schalter geöffnet sind. Für t=0^(+) dürfte aber eigentlich auch kein Strom durch den Kondensator fließen, da ja dann S_1 geschlossen ist und der Strom wohl durch den Kurzschluss fließt.
Tatsächlich soll aber wohl der Strom i_c(t=0^+) = -U_1/(R_2 + R_3)
fließen.
Kann mir das jemand erklären ?
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/38113_Bildschirmfoto_2015-06-04_um_17.31.56.png
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Amateur
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| Beitrag No.1, eingetragen 2015-06-04
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Hallo Luke-11,
bei t=0- fließt kein Strom durch den Kondensator, richtig!
(Das gilt sogar unabhängig von der Schalterstellung.)
Wie groß ist der Strom durch die Spule für t=0-?
Bei t=0 werden die Schalter geschlossen.
Wie groß ist der Strom durch die Spule bei t=0+?
(Das hängt mit der Frage zusammen, wie schnell sich der Strom durch eine Spule ändern kann.)
Viele Grüße A.
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rlk
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| Beitrag No.2, eingetragen 2015-06-04
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\
Hallo Luke\-11,
welche Werte haben i_L(0^\-) und u_C(0^\-)? Die Größen i_L und u_C sind stetig von der Zeit abhängig.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-04
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ok. also der Spulenstrom ist stetig, ebenso wie die Kondensatorspannung. Im stationären Zustand, bevor also die Schalter geschlossen werden, sollten beide = 0 sein.
i_L (0^+) = i_L (0^ -) = 0
u_c (0^+) = u_c (0^ -)
Wenn nun aber die Kondensatorspannung = 0 ist, fließt ja auch kein Strom durch den Kondensator. ...
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rlk
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| Beitrag No.4, eingetragen 2015-06-04
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Hallo Luke-11,
warum sollte die Spannung am Kondensator gleich Null sein?
Servus,
Roland
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-05
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naja. ich habe gedacht:
die rechte Masche liefert:
u_R_3 (t) + u_c (t) - u_R_2 (t) = 0
u_c (t) = u_R_2 (t) - u_R_3 (t)
wenn nun der Spulenstrom = 0 ist, fließt kein Strom durch die Widerstände. Und somit gibt es auch kein Spannungsabfall über diese Widerstände. Deshalb dachte ich, dass die Kondensatorspannung auch = 0 ist.
Ich weiß nicht so recht, welche anderen Möglichkeiten es gibt, die Kondensatorspannung zu berechnen. Spannungsteiler funktioniert nicht, da wir keine Reihenschaltung haben. Eine reine Parallelschaltung liegt auch nicht vor, sodass überall eine Spannung von U_1 anliegen würde.
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2015-06-05
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Moin
Wenn wir davon ausgehen, dass für t<0 die Schaltung lange im eingeschwungenen Zustand vorlag, dann fließt in der Tat kein Strom mehr. Allerdings muss mal einer geflossen sein, da wir eine angeschlossene Spannungsquelle haben. Es gab also mal einen Ladestrom, der den Kondensator über die Widerstände $R_1$ und $R_3$ sowie über die Induktivität L aufgeladen hat. Wenn kein Strom mehr fließt, welche Spannung liegt dann an einem Kondensator am Ende des Ladevorgangs an?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-05
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achso. Am Ende des Ladevorgangs entspricht die Spannung, die am Kondensator anliegt, der Spannung der Quelle. Da die Kondensatorspannung stetig ist, beträgt
U_c (0+) = U_1 ?
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| Beitrag No.8, eingetragen 2015-06-05
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\quoteon(2015-06-05 10:56 - Luke-11 in Beitrag No. 7)
achso. Am Ende des Ladevorgangs entspricht die Spannung, die am Kondensator anliegt, der Spannung der Quelle. Da die Kondensatorspannung stetig ist, beträgt
U_c (0+) = U_1 ?
\quoteoff
So sieht es aus.
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-05
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ok gut, danke erstmal!
leider erklärt das noch nicht, wieso denn bei t = 0+ auch ein Strom durch den Kondensator fließt. Dies geht ja nur dann, wenn auch durch die Spule ein Strom fließt und das sollte, meiner Meinung nach, nicht der Fall sein, da der Spulenstrom stetig ist.
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| Beitrag No.10, eingetragen 2015-06-05
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\quoteon(2015-06-05 11:06 - Luke-11 in Beitrag No. 9)
leider erklärt das noch nicht, wieso denn bei t = 0+ auch ein Strom durch den Kondensator fließt. Dies geht ja nur dann, wenn auch durch die Spule ein Strom fließt und das sollte, meiner Meinung nach, nicht der Fall sein, da der Spulenstrom stetig ist.
\quoteoff
Wenn beide Schalter Geschlossen sind, dann fällt die Spannungsquelle $U_1$ und der Widerstand $R_1$ aus den weiteren Betrachtungen heraus, da die Spannungsquelle über S1 kurzgeschlossen ist. Es bleibt in Also nur noch der rechte Teil. In diesem übernimmt der aufgeladene Kondensator (mit $u_C(0^+) = U_1$) die Aufgabe einer Spannungsquelle. Weiter sieht man dann auch, dass L und $R_2$ parallel geschaltet sind. Es kann nach dem schließen der Schalter zum Zeitpunkt $t = 0^+$ also sehr wohl ein Strom fließen. Eben erst mal nur durch $R_2$, da, wie du richtig erkannt hast, der Strom an einer Spule stetig sein muss.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-05
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oh ja, ich glaube jetzt verstehe ich's:
der Kondensator ist nun also auf die Spannung U_1 aufgeladen, wenn die beiden Schalter geschlossen werden. Durch den Kurzschluss fällt die Spannungsquelle und R_1 quasi weg. Der Kondensator entlädt sich nun wieder. Da allerdings der Spulenstrom stetig ist, fließt (Achtung: hier bin ich mir noch etwas unsicher) der Strom zunächst nur durch R_3 und R_2.
Das bedeutet:
i_c(t=0^+) = u_c(t=0^+) / (R_3+R_2) = - U_1/(R_3 + R_2)
und, da L parallel zu R_2 :
u_L (t=0^+) = u_R_2 (t=0^+) = R_2 * i_c(t=0^+) = R_2* (- U_1/(R_2+R_3))
das negative Vorzeichen kommt daher, dass der Strom natürlich in die entgegengesetzte Richtung der Spannung fließt (also nicht in die Richtung, in der i_c(t) eingezeichnet ist).
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| Beitrag No.12, eingetragen 2015-06-05
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Das schaut doch ganz gut aus.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-05
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ok, super. Danke für deine Hilfe!
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-09
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hey,
ich habe noch eine weitere Frage zum gleichen Schaltbild: Ich soll nun die abgebildete Schaltung für t > 0 in den s-Bereich transformieren und die Kondensatorspannung U_c (s) bestimmen.
Da in der ursprünglichen Schaltung eine Spannungsquelle vorkommt, sieht das ESB im s-Bereich so aus:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/38113_ESB.png
Ich komme leider mit der Berechnung von U_c (s) nicht so recht voran:
aus der linken Masche erhalte ich:
U_L (s) + R_3*I_c (s) + U_c (s) = 0
U_c (0) = U_1
U_c (s) = -U_L (s) - R_3 * I_c (s)
U_L (s) = 0 ? - Es gibt immerhin keinen Widerstand
U_L (s) ist im Bild nicht eingezeichnet, soll aber die Spannung über der Spule und der Spannungsquelle sein.
I_c (s) ist nicht bekannt. Hier bin ich mir unsicher:
I_c(s) = (U_1/s)/ (R_3+1/(sc)+(R_2*sL)/(R_2+sL))
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rlk
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Dabei seit: 16.03.2007
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| Beitrag No.15, eingetragen 2015-06-09
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\
Hallo Luke\-11,
schreibe Dir die Zusammenhänge zwischen u_L(t) und i_L(t) bzw. zwischen u_C(t) und i_C(t) auf. Wende die Laplace\-Transformation auf diese Differentialgleichungen an, dann sollte Dir die Bedeutung der Terme sL und 1/sC klarer werden. Die Vermutung U_L(s)=0 ist falsch.
Weil nach U_c(s) gefragt wurde, ist es besser, I_c(s) so einfach wie möglich durch U_c(s) auszudrücken.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-09
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ok, danke Roland!
Mit der Laplace-Transformation bin ich noch etwas unsicher. Ich weiß eigentlich nur wie ich mithilfe der Tabellen, sobald ich zum Beispiel den Strom, oder die Spannung im s-Bereich der Schaltung bestimmt habe, Strom und Spannung zurück transformieren kann.
Meinst du mit den Zusammenhängen zwischen u_L und i_L :
u_L = L* di_L/dt
i_c = C*du_c/dt
I_c(s) = U_c(s)/(1/(sc)+R_3)
(eigentlich bin ich mir hier nicht sicher, ob ich nicht doch statt U_c(s)
U_1/s nehmen muss)
ich glaube ich übersehe hier so einiges ..
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rlk
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| Beitrag No.17, eingetragen 2015-06-10
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Hallo Luke-11,
ja, diese beiden Differentialgleichungen habe ich gemeint. Wenn Du die Laplace-Transformation darauf anwendest, erhältst Du den gesuchten Zusammenhang zwischen UC(s) und IC(s). Der Widerstand R3 spielt dabei keine Rolle.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-11
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gut. ich habe die Laplace-Transformation einmal gemacht:
u_L(t) = L*di_L(t)/dt
-> U_L(S) = L* [s*I_L(s) - i_L(0) ] = L*s*I_L(s)
i_c(t) = du_c/dt
-> I_c(s) = s*U_c(s) - u_c(0) = s*U_c(s) - U_1
Daduch wird natürlich klarer, wie das transformierte ESB zustande kommt. Aber ich habe leider immer noch ähnliche Schwierigkeiten wie zuvor: Um U_c(s) zu bestimmen, benötige ich I_c(s) und I_L(s). I_L(s) lässt sich bestimmt über den Stromteiler ermitteln, sobald ich I_c(s) habe. Die Spannung, aus der I_c(s) resultiert ist U_c(s) = U_1/s. Mir ist allerdings noch unklar, welche Widerstände ich alles berücksichtigen muss: Sind es tatsächlich alle, im Schaltbild vorhandenen Widerstände und Impedanzen: R_3, 1/sc, R_2, sL ?
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rlk
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| Beitrag No.19, eingetragen 2015-06-11
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Hallo Luke\-11,
ja, diese Klarstellung habe ich erhofft. In der Gleichung für I_C(s) hast Du den Faktor C vergessen. Mit der korrigierten Gleichung kannst Du I_C(s) durch U_C(s) und U_1 ausdrücken. Mit den beiden Maschengleichungen und der Knotengleichung kannst Du alle anderen Spannungen und Ströme durch U_C(s) und U_1 ausdrücken und erhältst so die gesuchte Formel für U_C(s).
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem, das Du auf verschiedene Weise lösen kannst. Hier ist wahrscheinlich das oben angedeutete Einsetzen am schnellsten, bei größeren Netzwerken empfiehlt sich das Verfahren von Gauß.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-15
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ok, danke für deine Mühe, Roland!
hier ist mein Versuch:
Ich habe das Netzwerk wie in Beitrag 14 gezeigt in den s-Bereich transformiert und sL und R_2 als Widerstände zusammengefasst. Nun ermittle ich den Spannungsabfall über 1/(sC), den ich als U_C1 (s) bezeichne, mit Hilfe des Spannungsteilers:
-U_C1(s) / (U_1/s) = (1/(sC)) /((sLR_2)/(sL+R_2) + R_3 + 1/(sC))
(- deshalb, weil im ESB Strom und Spannung in dieselbe Richtung weisen).
U_c1(s) = -U_1/s * ((1/(sC)) / ((sLR_2 + (sL+R_2)R_3 + (sL+R_2) (1/(sC)))/(sL+R_2))
U_c1(s) = -U_1/s * ((1/(sC)*(sL+R_2))/(sLR_2 + sLR_3 + R_2*R_3 + L/C + R_2/(sC))
U_c(s) = U_1/s - U_c1(s)
Ich weiß, das ist eine ziemlich lange und unübersichtliche Rechnung. Sollte es grob falsch sein, fällt aber ja vielleicht trotzdem ein Fehler auf.
Ansonsten nochmals vielen Dank!
Grüße
Luke
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rlk
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| Beitrag No.21, eingetragen 2015-06-16
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Hallo Luke,
es freut mich, dass ich Dir helfen konnte. :-)
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Das - vor U_C1(s) ist richtig, aber der Grund dafür sind die Bezugsrichtungen von U_C1 und U_1\., die Bezugsrichtung des Stroms hat damit nichts zu tun.
Deine Rechnung ist richtig, ich würde den ursprünglichen Ausdruck mit sC(sL+R_2) erweitern.
Servus,
Roland
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-18
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ok cool, das hört sich schon mal gut an. Ich habe deinen Vorschlag mal ausprobiert:
also der ursprüngliche Term erweitert sähe so aus:
(1/sc)/((sLR_2)/(sL+R_2)+R_3+1/(sc)) * ((sc(sL+R_2))/(sc(sL+R_2)
= (sL+R_2)/(sLR_2*sc + scR_3(sL+R_2)+sL+R_2)
-> U_c(s) =
= U_1/s*(1-((sL+R_2)/(sLR_2*sc+scR_3(sL+R_2)+sL+R_2))
nun setze ich Werte ein, die im nächsten Aufgabenteil gegeben sind:
U_1 = 1V, R_1 = R_2 = R_3 = 1 \Ohm, L=1H, C = 10 mF
U_c(s) = 1 - (s+10)/(s^2*10*10^(-2) + s*10*10^(-2)*(s+10) + s+10)
= 1-(s+10)/(10*s^2+10*s^2+10*s+s+10)
= (20s^2+10s+s+10-s-10)/(20s^2+10s+s+10)
leider glaube ich, dass sich hier ein Fehler eingeschlichen hat, da das Ergebnis in der Musterlösung lautet:
(s+5)/(s^2+10s+50)
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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