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Universität/Hochschule J Indices von Basis vs. Indices von Komponenten
VorzeichenVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-08-22


Guten Tag,
ich habe mich in letzter Zeit recht viel mit der ART und insbesondere der darin verwendeten Differentialgeometrie beschäftigt und wollte nur mal eine Sache erfragen, zu der ich bisher nirgends etwas finden konnte (wahrscheinlich weil in den üblichen ART-Abhandlungen nur mit Komponenten von Tensoren gerechnet wird).
Meine Vorkenntnisse:
Ich habe eine Vorlesung zur ART gehört, mir die darin nicht behandelte DiffGeo. aber im Wesentlichen im Selbststudium angeeignet (mit Büchern a la Geometry of Physics von Frankel).

Also, mir geht es um die Verwendung der Indices an Basis(/ko-)vektoren in Verbindung mit der Metrik. Allgemein sagt man ja, dass man mit einer Metrik eine Isomorphie zwischen Tangential- und Kotangentialräumen an den jeweiligen Punkten einer Mannigfaltigkeit herstellt und drückt das dann mit dem Index-Hoch/Runter-Geschiebe aus.
In der ART rechnet man aber oft nur mit den Komponenten von Tensoren und lässt die Basiselemente weg. Also man schreibt statt eines Vektors <math>V=V^{\mu}e_{\mu} </math> einfach nur die Komponenten <math>V^{\mu}</math> und diesen Index kann man dann mit <math>g_{\mu\nu}</math> "runterziehen". Meine Frage ist jetzt, ob man die Indices an den Basiselementen <math>e_{\mu}</math> ebenfalls mit der Metrik manipulieren kann, also <math>g_{\mu\nu}e^{\mu}=e_{\nu}</math> stimmt. Was ich mir gedacht habe: die letzte Formel stimmt so nicht, man erhält also nicht den zu <math>e^{\mu}</math> dualen Basisvektor, sondern einfach irgendeinen dualen Vektor, der nicht <math>e^{\mu}(e_{\nu})=\delta^{\mu}_{\nu}</math> erfüllt. Wenn man nur die Komponenten <math>V^{\mu}</math> betrachtet erhält man aber sehr wohl die Komponenten des zu V dualen Vektors.
In Formeln(Ich spare es mir jetzt mal die Metrik für die Anwendung auf nur ein Objekt als eigene Abbildung zu definieren):
<math>g(e_{\alpha})=g_{\mu\nu}e^{\mu}\otimes e^{\nu}(e_{\alpha})=g_{\mu\nu}\delta^{\mu}_{\alpha}e^{\nu}=g_{\alpha\nu}e^{\nu}\neg= e_{\alpha}</math>

Würde das letzte Ungleichheitszeichen nicht sein, wäre ja <math>g(e_{\alpha})=e_{\alpha}</math>, was keinen Isomorphismus zwischen <math>T_{p}M</math> und <math>T^{*}_{p}M</math> mehr darstellen würde. Scheinbar habe ich mein Problem also selbst gelöst? Nun, eigentlich kam ich auf die Frage, weil ich mich mit Vielbeinen beschäftigt habe. Wenn man die (dualen) Vielbeine <math>e^{a}=e^{a}_{\mu}dx^{\mu}</math> mit Minkowski(also orthonormalen)Indices in lateinischen Buchstaben und Koordinatenindices (also bezüglich Basen, den man über Kartendarstellungen von Punkten der Mannigfaltigkeit definiert) in griechischen Buchstaben betrachtet, so findet man in der entsprechenden (leider nur mager vorhandenen, soweit ich das sehen konnte) Literatur die Aussagen, dass man die Minkowski-Indices mit der konstanten Minkowski-Metrik verschieben kann und die Koordinatenindices mit der üblichen Raumzeitmetrik, welche sich auch als <math>g_{\mu\nu}=e^{a}_{\mu}e_{a\nu}</math> aus den Vielbeinen bestimmen lässt. Die <math>e^{a}</math> stellen aber eine Basis dar, die Indices verhalten sich also, wie oben beschrieben.(?) Die einzige Idee, die ich zur Auflösung meines Problems habe ist, dass es etwas mit der Orthonormalität der Vielbein-Basis zu tun haben könnte, also dass dann und nur dann doch wieder die Metrik auch die Indices an den Basis-Elementen verschieben könnte. Das ist aber reines Bauchgefühl und eine Begründung hätte ich nicht.

Ich würde mich über Ideen sehr freuen :)



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-08-22


Hallo VorzeichenVogel,

willkommen im Forum.

2015-08-22 01:08 - VorzeichenVogel im Themenstart schreibt:
[...] also <math>g_{\mu\nu}e^{\mu}=e_{\nu}</math> stimmt. Was ich mir gedacht habe: die letzte Formel stimmt so nicht, man erhält also nicht den zu <math>e^{\mu}</math> dualen Basisvektor, sondern einfach irgendeinen dualen Vektor, der nicht <math>e^{\mu}(e_{\nu})=\delta^{\mu}_{\nu}</math> erfüllt.

Wieso denkst Du, dass man überhaupt einen dualen Vektor erhält?

<math>g_{\mu\nu}\,e^\mu</math> ist doch nur eine Linearkombination von Vektoren aus <math>T_p^*M</math> und liegt deshalb selbst in <math>T_p^*M</math> und nicht in <math>T_pM</math>, wohin ein dualer Vektor gehören würde.

Das Problem ist somit nicht, dass der Ausdruck <math>e^{\mu}(e_{\nu})</math> einen falschen Wert liefern würde, sondern dass dieser Ausdruck gar nicht definiert ist.

Grüße,
dromedar



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VorzeichenVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-22


Hallo dromedar,
danke für die Rückmeldung :)
Ich muss dir natürlich zustimmen, dass <math>g_{\mu\nu}e^{\mu}</math> wieder nur in <math>T^{*}_{p}M</math> bleibt, da habe ich mich wohl mit der ART Tugend, alles nur in Komponenten zu schreiben, etwas verzettelt. Eigentlich wollte ich die Anwendung der ganzen Metrik auf den Dualvektor (wie in der Rechnung dadrunter) ausdrücken, wobei ja ein Element aus <math>T_{p}M</math> entstehen muss. Dabei hatte ich missachtet, dass da jetzt nicht mehr die Komponenten der Metrik ausreichen. Nachdem ich da jetzt nochmal drüber nachgedacht habe und mit ein paar Texten verglichen habe, konnte ich feststellen, dass auch bei den Vielbeinen immer nur die Komponenten <math>e^{a}_{\mu}</math> mit der entsprechenden Metrik manipuliert werden, was mein Problem dann teilweise schon löst :)

Es bleibt mir dann aber die Frage, ob ich jetzt durch Anwenden der Metrik auf einen Basis(ko-)vektor auch genau den dazu dualen (ko-)Vektor erhalte, also ob <math>g(e_{\alpha})=e^{\alpha}:=e^{\beta}</math> mit <math>e_{\alpha}(e^{\beta})=\delta^{\beta}_{\alpha}</math> gilt.

Grüße



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dromedar
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2015-08-22 10:45 - VorzeichenVogel in Beitrag No. 2 schreibt:
[...] also ob <math>g(e_{\alpha})=e^{\alpha}:=e^{\beta}</math> mit <math>e_{\alpha}(e^{\beta})=\delta^{\beta}_{\alpha}</math> gilt.

Was ist denn jetzt <math>e_\alpha</math> in dieser Formel? Ein echter Basisvektor oder der Kovektor <math>g_{\alpha\beta}\,e^\beta</math> ?

Und was meinst Du mit <math>e^{\alpha}:=e^{\beta}</math> ?



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VorzeichenVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-22


Mit <math>e_{\alpha}</math> meine ich einfach den normalen Basisvektor, von dem ich ausgehe und auf den ich die Metrik anwende, um ihn in einen Ko-Basisvektor zu verwandeln. Mit der Umdefinierung will ich lediglich ausdrücken, dass ich nur den Index umbenenne, damit ich dann die letzte Gleichung mit dem Kroneckerdelta nicht zweimal mit dem gleichen Index schreiben muss, das fand ich unübersichtlich.



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dromedar
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Also meinst Du die Anwendung des Kovektors <math>g(e_\alpha)</math> auf einen Vektor <math>e_\beta</math>. Das ergibt

    <math>\displaystyle g(e_\alpha)\,e_\beta = g(e_\alpha,e_\beta)=g_{\alpha\beta}</math>

Oder, wenn Du das ausführlicher schreiben willst:

    <math>\displaystyle g(e_\alpha)\,e_\beta=
\Bigl(\bigl(g_{\rho\sigma}\,e^\rho\otimes e^\sigma\bigr)\;e_\alpha\Bigr)\;e_\beta=
\bigl(g_{\rho\sigma}\,e^\rho\,\delta^\sigma_\alpha\bigr)\;e_\beta=
\bigl(g_{\rho\alpha}\,e^\rho\bigr)\;e_\beta=
g_{\rho\alpha}\,\delta^\rho_\beta=g_{\beta\alpha}</math>

Es kommt also, wie von der ursprünglichen Stellung der Indizes her auch zu erwarten, kein Kroneckersymbol heraus.



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VorzeichenVogel
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Vielen Dank für die Erläuterung!
Eigentlich hätte ich mir das im Rückblick auch selbst so überlegen können müssen, aber da hatte ich wohl einen Tunnelblick.
Falls das noch irgendwen interessiert, fasse ich dann nochmal zusammen:
-mit der Metrik kann man die Komponenten von Tensoren in die Komponenten von den dazu dualen Tensoren umwandeln
-mit der Metrik kann man Vektoren in Dualvektoren umwandeln, aber der erhaltene Dualvektor ist nicht notwendig zu genau dem Ausgangsvektor dual
-mit der Metrik kann man also NICHT die Indices von Basisvektoren hoch-/runterschieben

Danke und Tschau



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