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Universität/Hochschule J Transformation des Feldstärke-Tensors
Peregrinus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-08-22


Hallo ihr Lieben,

folgendes Problem beschäftigt mich jetzt schon seit einigen Tagen:

Ich möchte den Feldstärke-Tensor fed-Code einblenden von einem ruhenden Koordinatensystem S in ein Koordinatensystem S' übertragen, um zu sehen wie sich die E- und B-Felder für einen Beobachter in S' transformieren. S' soll dabei relativ zu S im Uhrzeigersinn mit der konstanten Frequenz fed-Code einblenden um die z-Achse rotieren. Die Rotationsgeschwindigkeit soll dabei als klein gegenüber c angenommen werden.

Folgende Verknüpfungen zwischen den Koordinaten der beiden Systeme kann ich demnach ermitteln:

fed-Code einblenden

Um fed-Code einblenden von S nach S' zu übertragen, nutze ich die Gleichung:

fed-Code einblenden

Was ich zunächst brauche, ist also die Metrik für S'. Die Komponenten von fed-Code einblenden kann ich einfach ablesen, indem ich mir das Linienelement fed-Code einblenden für die neuen Koordinaten anschaue. Ich starte mit dem Linienelement
fed-Code einblenden
und erhalte dann nach Transformation der Differentiale:
fed-Code einblenden
Der Übersicht halber gebe ich hier die Metrik nicht nochmal explizit wieder. Die Komponenten ergeben sich einfach aus den Koeffizienten vor den Differentialen.

Für mein ruhendes System S kann ich den Feldstärke-Tensor in CGS mit kovarianten Indizes schreiben als:
fed-Code einblenden
Und für kontravariante Indizes erhalte ich:
fed-Code einblenden

Wenn ich nun die Metrik nach oben erwähnter Vorschrift auf fed-Code einblenden anwende, und das daraus hervorgehende fed-Code einblenden mit fed-Code einblenden im alten System vergleiche, kann ich die Komponenten der transformierten Felder B' und E' ablesen. Dabei erhalte ich unter anderem die Beziehung:
fed-Code einblenden

Und hier kommt mein Problem. Wenn ich im neuen Koordinatensystem einen beliebigen Punkt auf der x'-Achse nehme, dann reduziert sich die gegebene Beziehung dort wegen y'=0 zu fed-Code einblenden . Ein Beobachter, der mit der x'-Achse mitrotiert, würde also das gleiche Feld fed-Code einblenden sehen wie ein ruhender Beobachter. Das macht irgendwie keinen Sinn.

Rechenfehler sollten mittlerweile alle ausgemerzt sein. Ich glaube eher, dass mein Formalismus nicht stimmt. Irgendetwas hab ich nicht verstanden. Doch wo liegt der Fehler?

Ich hoffe, ihr wisst Rat.



Liebe Grüße,
Peregrinus



PS: Ich weiß, Zylinderkoordinaten könnten hier praktischer sein. Ich möchte aber bewusst bei kartesischen Koordinaten bleiben.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-08-22


2015-08-22 18:34 - Peregrinus im Themenstart schreibt:
Doch wo liegt der Fehler?

Hallo Peregrinus,

ich würde sagen, der Fehler liegt schon in der Transformationsformel:

2015-08-22 18:34 - Peregrinus im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Wie kommst Du darauf, dass allein durch das Herunterziehen der Indizes mit der Metrik des gestrichenen Systems der Feldstärketensor in dieses System transformiert wird?

Ich skizziere zum Vergleich mal den üblichen Weg:

Die Transformation der Koordinaten kannst Du mit einer Matrix <math>\Lambda</math> in folgender Form schreiben:

    <math>\displaystyle x"^\mu=\Lambda^\mu_{\hphantom\mu\nu}\,x^\nu</math>

Und mit genau derselben Matrix wird alles transformiert, insbesondere auch der Feldstärketensor:

    <math>\displaystyle F"^{\mu\nu}=\Lambda^\mu_{\hphantom\mu\rho}\,
\Lambda^\nu_{\hphantom\nu\sigma}\,F^{\rho\sigma}</math>

Grüße,
dromedar



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Peregrinus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-23


Hallo Dromedar!

Sehr gut, jetzt wird mir einiges klar. Ich hatte die Transformationsgleichung aus dem Jackson übernommen. Er verwendet eine etwas andere Notation und ich hatte angenommen, dass es sich bei seinen "Transformationskoeffizienten" um die Komponenten der Metrik handelt - was jetzt im Nachhinein betrachtet in der Tat wenig Sinn macht, da man (allgemein) ja stattdessen die Lorentz-Boosts braucht. Meine letzte RT-Vorlesung ist ein bisschen her. Ich sollte mir vielleicht doch nochmal die Grundlagen anschauen, bevor ich mir irgendwelche Formeln zusammenklaube und drauf los rechne :D.

Danke für die Hilfe! Jetzt sollte ich's hinkriegen...


Schönen Gruß,
Peregrinus



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