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 Nicht verträgliche Atlanten auf R |
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Einheitswurzel
Junior 
Dabei seit: 03.07.2015
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2015-09-17
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Hi,
ich habe momentan die Aufgabe, einen Atlas auf $\IR$
zu finden, der mit dem natürlichen Atlas (also der Identität) nicht verträglich ist und einen Homöomorphismus zwischen den beiden Atlanten
Mein Ansatz wäre nun $\IR$ durch abzählbar viele offene Intervalle zu überdecken und diese dann jeweils in das offene Intervall (0,1) abzubilden.
Diese Karten sollten ja nun einen Atlas bilden.
Allerdings befürchte ich, dass die Atlanten miteinander verträglich sind, da die Einschränkung auf die jeweiligen Intervalle beliebig differenzierter ist.
Oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler gemacht?
Lg Einheitswurzel
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LaLe
Senior 
Dabei seit: 07.09.2014
Mitteilungen: 555
Wohnort: Bonn
| Beitrag No.1, eingetragen 2015-09-17
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Hi,
mir ist nicht klar, was du mit einem Homöomorphismus zwischen Atlanten meinst. Atlanten haben keine Topologie. Meinst du, dass die Kartenwechselabbildungen der Vereinigung der beiden Atlanten zwar Homöomorphismen, aber keine Diffeomorphismen sein sollen?
Ich geb dir folgenden Tipp: suche nach Atlanten mit nur einer einzigen Karte $\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Du musst es schaffen, dass $\varphi \circ \id_{\mathbb{R}}^{-1}$ oder $\id_{\mathbb{R}} \circ \varphi^{-1}$ nicht differenzierbar ist.
Zu deiner eigenen Idee: Es lässt sich nicht sagen, ob es funktioniert, da in deiner Idee kein Anhaltspunkt darüber zu finden ist, ob die Kartenwechselabbildungen mit der Identität differenzierbar werden. Wie genau willst du das Gegenteil erreichen? Und warum willst du abzählbar viele Intervalle wählen?
LG,
LaLe
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Einheitswurzel
Junior
Dabei seit: 03.07.2015
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-17
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Danke für die schnelle Antwort,
ich habe mich da wohl etwas unpräzise ausgedrückt, mit dem Homöomorphismus meinte ich eine Abbildung f:\IR->\IR, die den einen Atlas auf den neuen, gesuchten Atlas abbilden soll, sollte also eigentlich genau diese Abbildung mit den Eigenschaften sein, die du mir genannt hast, glaube ich.
Für die Abbildung an sich kann ich ja einfach f: \IR->\IR, x|->x^3 wählen, da die Umkehrabbildung in 0 nicht diffbar ist, das ist dann auch meine Karte und damit auch mein Atlas.
Lg Einheitswurzel
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LaLe
Senior
Dabei seit: 07.09.2014
Mitteilungen: 555
Wohnort: Bonn
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-09-17
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Du musst dich immer noch präziser ausdrücken: Eine Abbildung $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kann keinen Atlas auf einen anderen abbilden. Du schreibst dann "glaube ich", was danach aussieht, dass außer den begrifflichen Schwierigkeiten noch nicht alles klar ist.
Das Beispiel ist aber richtig. Es klappt natürlich jeder Homöomorphismus $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, der nicht in beiden Richtungen differenzierbar ist. Unter all solchen Möglichkeiten ist $x \mapsto x^3$ also besonders wenig "kaputt".
LG,
LaLe
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Einheitswurzel
Junior
Dabei seit: 03.07.2015
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-17
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Du hast schon recht, mir ist nicht ganz klar, was mit diesem Homöomorphismus gemeint sein soll, aber die Bezeichnung wortwörtlich so auf meinem Übungsblatt,
vielleicht ist das auch eine Ungenauigkeit/ ein Fehler in der Aufgabenstellung.
Lg Einheitswurzel
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LaLe
Senior
Dabei seit: 07.09.2014
Mitteilungen: 555
Wohnort: Bonn
| Beitrag No.5, eingetragen 2015-09-17
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Kannst du den genauen Wortlaut der vollständigen Aufgabenstellung angeben? Nicht, dass wir da am Ende noch etwas übersehen haben, was vielleicht zusätzlich zu erledigen ist...
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
pani
Junior
Dabei seit: 15.10.2015
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.6, eingetragen 2015-10-15
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Es ist wahrscheinlich gemeint, dass ein Diffeomorphismus zwischen den beiden Mannigfaltigkeiten gefunden werden soll, also eine Abbildung zwischen den Trägermengen der beiden Mannigfaltigkeiten ( hier beide Male $\mathbb R$), so dass die Kartendarstellung dieser Abbildung differenzierbar ist und keine kritischen Punkte hat. Das muss dann aber nicht für die Abbildung selber gelten (diese muss nicht einmal differenzierbar sein)! Die Abbildung muss aber homöomorph sein.
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