Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von fru
Physik » Relativitätstheorie » Überlegungen zu Indexpositionen bei Lorentzmatrix
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Überlegungen zu Indexpositionen bei Lorentzmatrix
Student42
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.10.2015
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-10-27


Hallo Forum,

ich habe eine Frage zu den Indizes bei der Lorentz-Matrix.

Speziell geht es um die folgenden Ausdrücke:
<math>
L^{\mu}_{\ \nu} \\
L^{\nu}_{\ \mu} \\
L_{\mu}^{\ \nu} \\
L_{\nu}^{\ \mu} \\
</math>

Dabei interessiert es mich, was steht wann oben/unten und wann rechts links?

Wir haben dazu folgende Definitionen:

<math>
(dx")^\mu = \sum_{\nu=0}^3 \frac{\partial(x")^\mu}{\partial x^\nu} (dx)^\nu \\
\underline{dx"} = \underline{\underline{L}} \ \underline{dx}
</math>

Ich verstehe das jetzt so:

Die einzelnen Komponenten eines Kontravarianten Vektors <math>x^\mu</math> transformiere ich mit <math>L^{\mu}_{\ \nu}</math>
Also
<math>(x")^\mu = \sum_{\nu=0}^3 L^{\mu}_{\ \nu} \  x^\nu</math>
Nur warum sind die Indizes jetzt genau an der Stelle, wo sie sind? Gibt es da eine gute Erklärung oder Merkhilfe für?

Nach Definition der Transposition sollte
<math>
(L^{\mu}_{\ \nu})^T = L^{\nu}_{\ \mu}
</math>
Stimmt das?

Demnach bleibt für <math>L_{\mu}^{\ \nu} </math> ja nur noch die Transformation der kovarianten Vektoren übrig?

Wäre dann
<math>(x")_\mu = \sum_{\nu=0}^3 L_{\mu}^{\ \nu} \ x_\nu</math>

Wenn man die Positionen rechts und links tauscht, bedeutet das dann, dass man die Inverse gebildet hat?


Puh, das ergibt ja plötzlich sogar Sinn?
Denn nach
<math>
\underline{A"}_{kov} = [\underline{\underline{L}}^T]^{-1} \underline{A}_\nu
</math>

Sollte gelten mit
<math>
[(L^{\mu}_{\ \nu})^T]^{-1} = [L^{\nu}_{\ \mu}]^{-1} = L_{\mu}^{\ \nu}
</math>

Was dann nur noch übrig bleibt ist:
<math>
L_{\nu}^{\ \mu} = (L_{\mu}^{\ \nu})^T
</math>


Dann wäre zusammengefasst:
<math>
L^{\mu}_{\ \nu} = \frac{\partial(x")^\mu}{\partial x^\nu}
</math>
um einen kontravarianten Vektor zu transformieren <math>(x^\mu -> (x")^\mu )</math>
<math>
L_{\mu}^{\ \nu} = \frac{\partial(x)^\nu}{\partial (x")^\mu}
</math>
um einen kovarianten Vektor zu transformieren <math>(x_\mu -> (x")_\mu)</math>

Wenn ich jetzt weiter überlege:
<math>
\underline{\underline{L}}\ \underline{x} = \underline{x"} \\
=> \underline{\underline{L}}^{-1} \underline{\underline{L}}\ \underline{x} = \underline{\underline{L}}^{-1}\ \underline{x"}\\
=> \underline{x} = \underline{\underline{L}}^{-1}\ \underline{x"}
</math>
Damit wäre dann
<math>
(L^{\mu}_{\ \nu})^{-1}=L_{\nu}^{\ \mu} = \frac{\partial(x)^\mu}{\partial (x")^\nu}
</math>
die Rücktrafo <math> (x")^\mu -> x^\mu</math>
Und entsprechend
<math>
L^{\nu}_{\ \mu} = \frac{\partial(x")^\nu}{\partial (x)^\mu}
</math>

Als Merkhilfe erscheint mir dann folgendes zutreffend:

Der linke Index beschreibt immer die gestrichene Größe. Oben oder unten steht dann dafür, ob die gestrichene Größe im Zähler oder Nenner steht, entsprechend gilt der rechte Index für die ungestrichene Größe.

Mit L transformiere ich einen kontravarianten Vektor x nach x'.
Mit <math>L^T</math> transformiere ich einen kovarianten Vektor x' nach x.
Mit <math>L^{-1}</math> transformiere ich einen kontravarianten Vektor x' nach x.
Mit <math>(L^T)^{-1}</math> transformiere ich einen kovarianten Vektor x nach x'.

Wenn da jetzt jemand seinen Segen darunter pflanzen kann, wäre ich super glücklich :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]